Kombinasi dan Permutasi

Kombinasi dan permutasi sama-sama aturan pencacahan atau penyusunan terhadap objek. Rumus Kombinas dan permutasi sebagai berikut:
1. Kombinasi:

2. Permutasi:

dengan:
C : Kombinasi (biasa juga dituliskan K)
P : Permutasi
n : Banyaknya objek secara keseluruhan
r : Banyaknya objek yang dipilih dari kumpulan n.
! : Faktorial

Faktorial
Faktorial (!) adalah perkalian berurutan bilangan positif dengan semua bilangan positif lainnya yang kurang dari bilangan bulat tersebut. Misalkan 5!=5×4×3×2×1.
Misalkan   tanpa menguraikan seluruhnya kita dapat menggunakan cara berikut ini:

B. Perbedaan Kombinasi dan Permutasi
Untuk mengetahui perbedaan antara kombinasi dan permutasi perhatikan ilustrasi berikut.

(1). Di sebuah komunitas terdapat 5 kandidat yang akan dipilih 2 orang untuk mewakili dalam suatu lomba. Ada berapa cara memilih 2 orang tersebut.

(2) .Di komunitas terdapat 5 kandidat yang akan dipilih 2 orang untuk menjadi ketua dan sekretaris. Ada berapa cara memilih 2 orang tersebut.

Nah, dari contoh 1 dan 2 walaupun objek keseluruhan sama-sama 5(n) dan objek yang akan dipilih sama-sama 2 (r), tetapi terdapat perbedaan yang sangat mendasar. Misalkan 5 orang tersebut masing-masing A, B, C, D, dan E pada contoh (1), meski yang pertama terpilih adalah si A dan yang kedua terpilih adalah si B, maka yang mewakili komunitas tersebut bernilai sama. Sama-sama diwakili oleh A dan B (A& B 1 kemungkinan). Berbeda dengan contoh (2), jika kemungkinan pertama si A terpilih menjadi ketua dan si B menjadi sekretaris, dan kemungkinan selanjutnya si A menjadi sekretaris dan si B menjadi ketua. Walaupun A dan B sama-sama terpilih, namun memiliki nilai yang berbeda (A& B 2 kemungkinan). Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut:

Atau dengan menggunakan rumus berikut:

C. Penyelesaian Masalah mengenai Permutasi dan Kombinasi

1. Desy akan membuat sebuah kata sandi untuk laptopnya yang terdiri dari 7 karakter. Kata sandi yang akan dibuat menggunakan namanya pada empat karakter awalnya atau akhir secara berturut-turut, kemudian ditambahkan dengan tiga buah angka berbeda dari 0, 1, 2, 3, …, 9 secara acak, contohnya DESY123, DESY213, 123DESY, dan seterusnya. Banyaknya kata sandi yang mungkin adalah ….
2. Dalam suatu ulangan siswa harus mengerjakan 8 soal dari 10 soal yang tersedia dengan syarat nomor 1, 2, dan 3 wajib dikerjakan. Banyak cara siswa mengerjakan soal sisa adalah ….

Penyelesaian:
1. Pada soal ini, kita menggunakan permutasi karena terdapat perbedaan jika kita menggunakan DESY123 dan DESY213 meskipun memiliki karakter yang sama. Formasi password yang memungkinkan sebagai berikut:
(*) Kemungkinan 1: DESY kemudian diikuti oleh 3 angka 
(**) Kemungkinan 2: 3 angka kemudian DESY 

Sehingga rumus yang digunakan adalah:

2. Ini merupakan kombinasi. Karena meskipun kita mengerjakan soal dengan urutan 12345678 itu sama halnya kita mengerjakan dengan urutan 12476853.
Karena nomor 1, 2, dan 3 wajib dikerjakan, sehingga kita wajib memilih 5 soal dari 7 soal yang tersisa yaitu nomor 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10