Pengertian Fungsi dan Operasi Aljabar pada Fungsi

A. Pengertian Fungsi

Jika kita ingin membuat jus manga dengan menggunakan alat pembuat jus, maka yang kita butuhkan adalah buah mangga kemudian memprosesnya di mesin pembuat jus kemudian hasilnya adalah jus mangga. Tentunya dalam proses pembuatan jus mangga ini, kita membutuhkan bahan-bahan lain seperti gula ataupun bahan tambahan lainnya. Nah, fungsi diibaratkan suatu mesin. Ada input sebagai daerah asal (domain) kemudian proses (fungsi), dan output sebagai daerah hasil (range). Perhatikan ilustrasi gambar di bawah:

Gambar 1. Ilustarsi suatu Fungsi

Misalkan nilai x merupakan daerah asal, nilai x ini kemudian dimasukkan ke suatu fungsi, sehingga menghasilkan daerah hasil. Jika variabel x pada Gambar 1 merupakan bilangan asli yang kurang dari 4, maka hasilnya juga merupakan bilangan real.

Bilangan asli yang kurang dari 4 adalah 1, 2, dan 3. Jika ketiga bilangan itu disubstitusikan pada x maka menghasilkan masing-masing sebagai berikut:

1. x = 1, maka hasilnya adalah: 1² – 3 = 1 – 3 = –2
2. x = 2, maka hasilnya adalah: 2² – 3 = 4 – 3 = 1
3. x = 3, maka hasilnya adalah: 3² – 3 = 9 – 3 = 6

Bilangan asli 1, 2, dan 3 merupakan daerah asal, sedangkan –2, 1, dan 6 merupakan daerah hasil. Secara matematis dituliskan sebagai berikut f : x →  x²  – 3 dibaca fungsi f memetakan x terhadap x²  – 3. Selain penulisan tersebut, dapat juga dituliskan f(x) = x²  – 3, f(x)  dapat juga diubah menjadi y.

B. Sifat-sifat Fungsi

Semua bentuk fungsi merupakan relasi, tapi tidak semua relasi merupakan fungsi. Ciri-ciri utama fungsi adalah jika dan hanya jika tiap anggota di daerah asal memiliki tepat satu pasangan di daerah hasil, tapi bisa saja tidak berlaku sebaliknya.

Gambar 2. Sifat-sifat Fungsi

Sifat-sifat fungsi sebagai berikut:

1. Fungsi Injektif atau disebut juga fungsi satu – satu (into), jika elemen daerah asal memiliki satu pasangan di daerah hasil. Setiap pasangannya berbeda. Pada Gambar 2 (a) bisa saja daerah hasil tidak memiliki pasangan dari daerah asal.
2. Fungsi Surjektif (onto), tiap elemen di daerah hasil memiliki pasangan dari daerah asal. Pada Gambar 2 (b), terdapat beberapa (dua) elemen daerah asal memiliki pasangan yang sama di daerah hasil.
3. Fungsi Bijektif, tiap elemen di daerah hasil memiliki tepat satu pasangan di daerah hasil, begitupun sebaliknya. Fumgsi bijektif merupakan gabungan dari fungsi injektif (memiliki satu pasangan) dan fungsi surjektif (tiap elemen-elemennya memiliki pasangan).

C. Daerah Asal dan Daerah Hasil Grafik

Dalam fungsi pada grafik, jamaknya daerah asal diwakilkan pada sumbu x dan daerah hasil pada sumbu y.

Gambar 3. Daerah Asal dan Daerah Hasil pada Grrafik

Perhatikan Gambar 3 (a) dan (b). Untuk mengetahui daerah asalnya maka yang diperhatikan adalah sumbu x-nya dan daerah hasil yang diperhatikan adalah sumbu y-nya.

• Pada Gambar 3(a), daerah asalnya berada di angka –2 sampai 8, tetapi karena pada titik x = 2 ditandai dengan bukan lingkaran penuh, maka artinya tidak sama dengan –2, tetapi dekat dengan –2. Sedangkan daerah hasilnya berada di angka 1 sampai 8, karena bukan merupakan lingkaran penuh pada y = 1 maka nilainya bukan tepat 1 tapi dekat dengan 1. Sehingga dapat ditulis sebagai:

• Pada Gambar 3(b), jika panah pada kurva diperpanjang terus menerus, maka daerah asalnya sepanjang sumbu-x. dari -∞ sampai +∞, dimana x merupakan anggota-anggota bilangan real. Sedangkan daerah hasilnya, maksimal sampai 1 dan minimal sampai -∞.

D.    Operasi Aljabar pada Fungsi

Jika f adalah fungsi dengan daerah asal  D_f  dan g adalah fungsi dengan daerah asal D_g maka :

Gambar 4. Operasi Aljabar pada Fungsi

Contoh:

Diketahui fungsi  dan  . Tentukanlah fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.

Penyelesaian:

Note:

Materi ini telah tayang di kanal YouTube kami mathematics4us dengan link https://youtu.be/KxcubNBUKSc