Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variaal terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel. Persamaan umum system persamaan linear dua variabel :

Dengan syarat:

1.  adalah bilangan real.
2. dantidak boleh sama-sama nol, begitupun dengandan      tidak boleh sama-sama nol.
3. Jika  , maka SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) adalah homogen dan jika atau  maka SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel)  adalah tidak homogen.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dapat dilakukan dengan beberapa cara, sebagai berikut:

1. Metode Grafik

Dengan menggunakan metode grafik ini, menentukaan penyelesaian SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) dengan melihat koordinat titik potong grafik kedua garis dari persamaan-persamaan liniernya. Posisi antara kedua garis menetukan penyelesaian SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) yaitu: saling berpotongan, sejajar, atau berimpit. Perhatikan gambar di bawah ini:

• (1)  Jika kedua garis berpotongan pada satu titik , maka SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) memiliki sebuah penyelesaian.
• (2)  Jika kedua garis sejaajar, maka SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) tidak memiliki penyelesaian.
• (3)  Jika kedua garis itu saling berimpitan, maka SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) tersebut memiliki penyelesaian yang tak hingga banyaknya.

Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut:

Jawab:

Langkah 1

Misalkan persamaan garis f menjadi x= 0 dan y= 0 sebagai berikut:

• Misalkan x= 0, sehingga   ,  maka   (x, y) = (0, 7)
• Misalkan y= 0, sehingga  ,  maka   (x, y) = (7, 0)

Langkah 2

Sama halnya dengan langkah 1, lakukan pemisalan pada persamaan garis g:

• Misalkan x= 0, sehingga  ,  maka    (x, y) = (0, -3)
• Misalkan y= 0, sehingga  , maka    (x, y) = (3, 0)

Langkah 3

Gambarlah garis fdan garis gpada bidang kartesius. Titik pertemuan antara kedua garis merupakan penyelesaian SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) tersebut.

Dengan menggunakan langkah-langkah yang sama pada (a), maka diperoleh

• …….. pers. Garis g  

• …….. pers. Garis f

Pada gambar di atas, kedua garis tersebut sejajar sehingga sistem persamaan SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) tersebut tidak memiliki penyelesaian.

2. Metode Substitusi

Metode substitusi sesuai dengan namanya yaitu suatu metode penyelesaian SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) dengan menggantikan variabelnya.

Jika diketahui system persamaan berikut     tentukan himpunan penyelesaiannya.

Langkah 1

Pilih salah satu persamaan yang dianggap persamaan paling sederhana. Nyatakan satu variabel yang dipilih ke variabel lain.

Langkah 2

Substitusikan persamaan itu ke persamaan lain sehingga diperoleh nilai salah satu variabel.

Langkah 3

Substitusikan nilai yang didapatkan ke persamaan yang lain

Nilai y = 3 disubstitusikan ke persamaan x + y = 5, sehingga diperoleh:

Sehingga diperoleh himpunan penyelesaian persemaan tersebut adalah (2, 3)

3. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah mencari himpunan penyelesaian dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya.

Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut: 

Langkah 1

Pilih salah satu variabel yang akan dieliminasi. Misalkan yang akan dieliminasi adalah variabel x.

Langkah 2

Kalikan persamaan tersebut dengan sebarang bilangan sehingga jika koefisien variabel yang ingin dihilngkan dijumlahkan atau dikurangkan menghasilkan nilai nol.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah (1, 1).

4. Metode Eliminasi-Substitusi (Gabungan)

Metode ini menggabungkan metode eliminasi dan substiitusi yang sebelumnya telah dibahas. Untuk lebih jelas, perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 1

Jika x dan y memenuhi sistem persamaan 

Penyelesaian:

Eliminasi variabel x

Substitusi variabel y ke persamaan pertama

   Jadi, x = 2 dan y = 1, sehingga x + y= 2 + 1 = 3.

Contoh 2

Sepuluh tahun yang lalu umur Amir dua kali umur Budi, lima tahun kemudian umur Amir menjadi  1½ kali umur Budi. Maka umur Budi sekarang adalah ….

Penyelesaian:

Misalkan Umur Amir = A dan Umur Budi = B

Buatlah model matematikanya:

• Sepuluh tahun yang lalu umur Amir dua kali umur Budi:

• lima tahun kemudian umur Amir menjadi 1 ½ kali umur Budi:

Jadi, umur Budi adalah 25 Tahun.