Aplikasi Barisan

A. Pertumbuhan

Contoh

1. Kultur jaringan terhadap 1.000 bakteri yang diuji di laboratorium menunjukkan bahwa satu bakteri dapat membela diri dalam waktu 4 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 23 jam.

Jawab.

Diketahui :

B₀         : Jumlah bakteri mula-mula = 1.000

       B₂₅       : Jumlah bakteri setelah 23 jam

Ditanyakan : Tentukan banyak bakteri setelah 3 jam.

Penyelesaian:

Untuk mengetahui perkembangan bakteri, dengan syarat melakukan pembelahan diri setiap 4 jam sekali. Artinya jika kurang dari 4 jam tidak mengalami permbelahan.

Misalkan 3 jam, maka bakteri tersebut tidak mengalami pembelahan.

Misalkan waktu pembelahan yaitu 23 jam.

Bakteri tersebut mengalami pembelahan sebanyak = 23 : 4 = 5,75. Karena bakteri hanya membela 4 jam sekali, maka 5,75 dibulatkan ke bawah yaitu 5 kali pembelahan. Untuk jelasnya, perhatikan tabel berikut.

2. Pertambahan penduduk suatu kota setiap tahun diasumsikan mengikuti barisan geometri. pada tahun 2011 pertambahannya sebanyak 4 orang dan pada tahun 2013 sebanyak 64 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2015 adalah ….

Jawab:

Diketahui: U₁ = 4 dan U₃ = 64

Ditanyakan: U₅

Penyelesaian:

Sehingga,

Jadi, pertumbuhan penduduk pada tahun 2015 adalah 1.024 orang.

B.Peluruhan

Contoh:

1. Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengah dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah ….

Jawab:

Diketahui:

a = 1.600

      r = ½ (karena peluruhan, artinya berkurang setengahnya)

      waktu peluruhan 2 jam

      lama peluruhan (n) dari pukul 06.00 – 14.00:

(1) Jika 06.00 dianggap sebagai U₁ maka n = 5, jadi rumus yang digunakan U_n = ar ^{n – 1}

(2) Jika 06.00 dianggap sebagai U₀ maka n = 4, jadi rumus yang digunakan U_n = ar ⁿ

Ditanyakan: massa zat yang tersisa.

Penyelesaian:

(Kita menggunakan aturan (1))

Jadi, massa zat radioaktif yang tersisa adalah 100 gram.

2. Sebuah mobil seharga Rp600.000.000 mengalami penyusutan harga setiap tahun membentuk barisan geometri dengan rasio 1/3. Hitunglah harga mobil pada tahun ke-5.

Jawab:

Diketahui:

Harga mula-mula (H₀) = Rp600.000.000

r = 1/3.

Ditanyakan: Harga mobil pada tahun ke-5

Penyelesaian:

Sama halnya dengan soal no. 1, jika:

(1) Jika Rp600.000.000 dianggap sebagai U₁ maka n = 6, jadi rumus yang digunakan U_n = ar^{n – 1}

(2) Jika Rp600.000.000 dianggap sebagai U₀ maka n = 5, jadi rumus yang digunakan U_n = arⁿ

 Karena 1/3 merupakan rasio penyusutan, sehingga kita mengunakan rumus U_n = a(1 – r)ⁿ  (jika kita menggunakan ketentuan (2)).

Catatan: untuk peluruhan dan pertumbuhan rasionya tidak langsung digunakan dalam rumus barisan geometri namun terlebih dahulu dikurangkan dengan 1.

C. Bunga Majemuk

Bunga majemuk mengikuti fungsi eksponensial. Misalkan dana awal yang dimiliki adalah x rupiah dengan bunga y% per tahun. Maka pada tahun pertama adalah banyaknya bunga yang diterima ditambah dengan dana awalnya (misalkan hasilnya adalah z). untuk tahun selanjutnya makan jumlah yang diterima adalah banyaknya bunga dari z ditambah dengan z. sehingga bunga yang didapatkan tiap tahun selalu meningkat dibandingkan tahun-tahun sebelumnya. Selain pada tagungan, bunga majemuk juga berlaku pada angsuran.

Berbeda halnya dengan bunga majemuk, bunga tunggal tidak mengalami perbedaan jumlah bunga dari waktu ke waktu. Nah, jadi jika terdapat angsuran dengan menawarkan bunga tertentu, sebagai konsumen kita harus mengetahui jenis bunga apa yang digunakan. Apakah bunga majemuk ataukah bunga tunggal. Yang harus digarisbawahi adalah, jika bunga tunggal bunganya tidak berubah, sedangkan bunga majemuk semakin lama bunganya semakin besar

Misalkan seorang pengusaha ingin meminjam dana untuk mengembangkan usahanya sebesar Rp200.000.000,-. Dia berencana ingin mengangsur selama 5 tahun. Sebelum meminjam, dia membandingkan skema angsuran dalam suatu brosur. Pada skema I menggunakan bunga tunggal sebesar 8% per tahun. Sedangkan Skema II menggunakan bunga majemuk 7% per tahun. Manakah diantara kedua skema tersebut yang memiliki total keseluruhan yang harus dibayarkan paling rendah?

Untuk mempermudah, kita harus mengetahui rumus umum total yang harus dibayar setelah ditambah dengan bunga yaitu misalkan M₀ adalah dana awal, i adalah suku bunga, x adalah jumlah bunga dan M_n adalah total keseluruhan yang harus dibayarkan. Maka:

Tabel 1. Total Keseluruhan yang Harus Dibayar

Perhatikan table di atas. Pada tahun ke 5 ternyata Skema II (7%) lebih besar total yang harus dibayarkan dari pada Skema I (8%). Tentunya jika semakin lama tahun angsuran maka semakin besar pula perbedaan pembayaran yang dibayarkan pada Skema I dan Skema II.

Nah, bagaimana dengan rumus umum penghitungan bunga tersebut. Jika menggunakan bunga tunggal kita cukup menggunakan rumus deret aritmetika. Sedangkan untuk bunga majemuk kita menggunakan langkah pada table berikut:

Tabel 2. Rumus Umum Bunga Majemuk