Limit Fungsi: Konsep dan Sifat Limit Fungsi, Fungsi Polinomial, dan Menyelesaikan masalah Limit Fungsi.

Ilustrasi:

Jika kamu membeli handphone dengan harga Rp 3.999.999. Jika seorang teman menanyakan padamu harga handphonem-mu tersebut, maka tentunya kamu akan lebih mudah memberitahu harganya senilai Rp 4.000.000, bukan? Mengapa demikian? Bukankah Rp 3.999.999 tidak sama dengan Rp 4.000.000? Mungkinkah karena kita menganggap bahwa Rp 3.999.999 itu sangat dekat dengan Rp 4.000.000 (dan tentu saja lebih mudah diucapkan) sehingga kita menyamakan Rp 3.999.999 dengan Rp 4.000.000?

Jika kita ditanya bilangan yang dekat dengan angka 1, maka tanpa berpikir panjang kita akan menjawab angka 0 dan angka 2. Namun apakah bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah angka 0 dan angka 2? Tentunya Kalian tahu dengan bilangan decimal, bukan? Antara 0 dan 1 ada angka 0,1, 0,2, 0,3 dan seterusnya. Jadi sekarang bisakah kalian menyebutkan bilangan apa yang paling dekat dengan angka 1? Jika kalian memilih angka 0,9 maka harus diketahui bahwa ada banyak bilangan real yang berada antara 0,9 dengan 1.

Perhatikan ilustrasi pada Gambar 1 berikut:

Pada Gambar 1 menunjukkan bahwa selalu ada bilangan real yang mendekati angka 1 (perhatikan yang dilingkari merah). Bilangan apakah itu? Tentunya kita tidak bisa serta merta menyebutkan bilangan apa itu, olehnya kita membutuhkan suatu variabel yang dapat mewakili bahwa ada bilangan yang sangat dekat dengan 1. Kita misalkan variabel itu adalah x. Secara matematis dituliskan . Jika bilangan tersebut mendekati 1 dari kiri maka disimbolkan dan jika bilangan tersebut mendekat 1 dari kanan maka dinotasikan  . Jadi suatu bilangan x yang sangat dekat nilainya dengan 1, karena sangat dekat maka terkadang dalam kasus tertentu kita menyamakannya dengan 1.

Defisi. Misalkan f sebuah fungsi   dan misalkan L dan c anggota himpunan bilangan real.  jika dan hanya jika f(x) mendekati L untuk semua x mendekati c.

Jadi berdasarkan definisi di atas disimpulkan bahwa limit fungsi mempunya sifat:   jika dan hanya jika .

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1:

Selidikilah apakah fungsi  Mempunya limit atau tidak.

Penyelesaian:

Buatlah table x dan f(x) kemudian subtitusikan beberapa bilangan real yang mendekati 1.

Dari table di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa jika kita mensubtitusikan beberapa bilangan real x pada fungsi, maka akan medekati dari kiri dan dari kanan. Sehingga  fungsi tersebut memiliki limit.

FUNGSI-FUNGSI LIMIT

Contoh:

Tentukanlah nilai limit fungsi-fungsi berikut.

Penyelesaian :

Cara Menyelesaikan Fungsi Limit

Dengan mengetahui sifat-sfat limit, maka selanjutnya kita akan menyelesaikan fungsi limit dengan tiga cara.

1.Pemfaktoran

Cara ini digunakan jika fungsi limit berbentuk pecahan   dan jika dimasukkan nilai limitnya maka akan bernilai

Contoh:

Tentukan nilai limit fungsi berikut:

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan ketiga soal di atas jika langsung memasukkan nilai x maka akan menghasilkan  Olehnya itu, cara yang tepat untuk menyelesaikan soal tersebut dengan memfaktorkan terlebih dahulu.

2.Merasionalkan akar

Seperti halnya memfaktorkan, cara ini digunakan jika fungsi limit berbentuk pecahan  dan jika dimasukkan nilai limitnya maka akan bernilai  Merasional akar adalah cara menyelesaikan limit fungsi dengan mengalikan fungsi tersebut dengan 1 dalam bentuk  akar sekawan. (Harus diingat bahwa )

Contoh.

Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal-soal di atas jika langsung memasukkan nilai x maka akan menghasilkan  Olehnya itu, cara yang tepat untuk menyelesaikan soal tersebut dengan memfaktorkan terlebih dahulu.

3.Limit Fungsi Polinomial

Fungsi polynomial juga dikenal dengan suku banyak. Untuk menyelesaikan limit fungsi ini terkadang juga memerlukan cara pemfaktoran, jika  fungsi limit berbentuk pecahan  dan jika dimasukkan nilai limitnya maka akan bernilai

Contoh:

Tentukan nilai limit fungsi-fugsi berikut

Penyelesaian:

Untuk mengerjakan soal nomor 2 dan 3 tidak dapat langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam persamaan karena akan menghasilkan  

Catatan:

Jika kita telah mahir materi fungsi turunan, mencari nilai limit dapat dengan mudah kita temukan dengan menggunakan turunan. Dengan syarat: jika fungsi limit berbentuk pecahan  dan jika dimasukkan nilai limitnya maka akan bernilai