Dimensi Tiga

Dimensi tiga terdiri dari titik, garis dan bidang dalam ruang. Mathematics4us akan membahas kedudukan komponen dimensi ruang tersebut dan benda-benda ruang dan volumenya. Sebelumnya, kalian harus tahu definisinya masing-masing.

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang

1. Titik, tidak memiliki dimensi (tidak memiliki ukuran), disimbolkan dengan noktah  dan diberi nama dengan huruf kapital, misalnya P, Q, R, S, dan lainnya. 
2. Garis, memiliki satu demensi saja yaitu dimensi panjang. Disimbolkan dengan huruf kecil atau dua buah huruf kapital. 

3. Bidang, memilikidua dimensi yaitu dimensi paanjang dan kebar. Bidang tidak memiliki ketebalan. Ruang biasa disimbolkan dengan huruf yunani seperti yang diberikan di pojok suatu bidang. Namu terkadang penamaan bidang berdasarkan nama titik-titik hubungnya. 

Kedudukan Titik, Garis, Dan Bidang Pada Bangun Ruang:

1. Kedudukan Titik Terhadap Garis

Kedudukan titik terhadap garis yaitu (a) titik yang dilewati oleh garis atau titik yang berada pada garis dan (b) titik yang berada di luar garis.

2. Kedudukan Titik Terhadap Bidang

Kedudukan titik terhadap bidang yaitu (a) titik yang berada pada bidang dan (b) titik yang berada di luar bidang.

3. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lainnya

Kedudukan garis terhadap bidang terdiri dari empat, yaitu:

(a) Berpotongan, jika kedua garis terletak di bidang yang sama dan saling bertemu pada satu titik potong pada garis-garis tersebut.

(b) Sejajar, jika terletak sebidang tetapi tidak memiliki titik potong.

(c) Berimpit, jika kedua garis terletak di bidang yang sama dan setiap titik pada garis pertama berada pada garis kedua.

(d) Bersilangan jika dua garis tersebut tidak sebidang dan juga tidak sejajar, serta tidak berpotongan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut.

4. Kedudukan Garis Terhadap Bidang

(a)   Garis Terletak pada Bidang, jika semua titik garis tersebut berada pada bidang.

(b)  Garis memotong pada bidang, jika garis tidak terletak pada bidang, sehingga garis tersebut memotong bidang.

(c)   Garis sejajar dengan bidang, jika garis tersebut tidak berada pada bidang, dan tidak memiliki titik persekutuan.

5. Kedudukan Bidang dengan Bidang Lainnya

(a)   Berpotongan, jika kedua bidang bertemu dan membentuk satu garis persekutuan.

(b)  Sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak memiliki daerah persekutuan.

(c)   Berimpit, jika pertemuan kedua bidang tersebut membentuk persekutuan berupa bidang

Contoh:

Berdasarkan gambar di berikut,

tentukan macam-macam kedudukan berikut.

1. Titik yang berada pada garis DH
2. Titik yang berada di luar garis DH
3. Garis yang sejajar dengan garis AB
4. Garis yang berimpit dengan garis AB
5. Garis yang berpotongan dengan garis AB
6. Garis yang bersilangan dengan garis AB
7. Garis yang terletak pada bidang ABEF
8. Garis yang sejajar dengan bidang ABEF
9. Garis yang memotong bidang ABEF
10. Bidang yang sejajar dengan bidang EFGH
11. Bidang yang berpotongan dengan bidang EFGH

Jawab:

1. Titik yang berada pada garis DH: D, I, dan H
2. Titik yang berada di luar garis DH: A, B, C, E, F dan G
3. Garis yang sejajar dengan garis AB: CD, EF, dan GH
4. Garis yang berimpit dengan garis AB: –
5. Garis yang berpotongan dengan garis AB: AD, AE, BC, BF, dan BG
6. Garis yang bersilangan dengan garis AB: CG, DH, EH, dan FG
7. Garis yang terletak pada bidang ABEF: AB, AE, BF, dan EF
8. Garis yang sejajar dengan bidang ABEF: CD, GH, CG, dan DH
9. Garis yang memotong bidang ABEF: AD, BC, EH, FG, dan BG
10. Bidang yang sejajar dengan bidang EFGH: ABCD
11. Bidang yang berpotongan dengan bidang EFGH: ABEF, BCFG, CDGH, dan ADEH

B. Bangun Ruang

Untuk memahami volume dan luas permukaan bangun ruang, maka perhatikan contoh-contoh berikut:

1. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH pada gambar di bawah adalah 6 cm. jarak titik E ke bidang BDG adalah ….

Penyelesaian:

Misalkan titik potong garis EC terhadap bidang BDG adalah titik T. maka jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak terdekat yaitu garis ET. Perhatikan bidang ACEG

Pada kubus, diagonal bidang dan diagonal ruang

Dimana a adalah rusuk, sehingga:

2. Diketahui suatu balok EFGH dengan panjang AB= 8 cm, BC = 6 cm, dan BF= 3 cm.

Tentukan:

• Panjang diagonal bidang AC
• Luas bidang diagonal ACGE

Penyelesaian:

• Panjang diagonal bidang AC

Perhatikan bidang ABCD

• Luas bidang diagonal ACGE

Perhatikan bidang ACGE

3. Diketahui limas segi empat beraturan dengan sisi alas berbentuk persegi dengan panjang 2 cm dan tinggi 6 cm. tentukan volume dan luas permukaan limas tersebut.

Penyelesaian:

• Volume limas

• Luas permukaan limas

Permukaan limas terdiri dari 4 segitiga sama kaki dan persegi.

Sehingga untuk menentukan luas permukaannya terlebih dahulu mencari luas permukaan tersebut.

1. Luas persegi = 2×2 = 4 cm²
2. Luas segitiga sama kaki:

Untuk mengetahui luas segitiga maka terlebih dahulu

Tentukan panjang BE. Perhatikan gambar di Berikut

(perhatikan penjelasan no 1 mengenai diagonal)

Jadi luas permukaan limas = 4(luas segitiga sama kaki) + luas persegi

4. Suatu bangun ruang berbentuk bola mempunyai volume 38.808 cm². Tentukan jari-jari dan luas permukaan bangun ruang tersebut.

Penyelesaian: