Induksi Matematika

Induksi matematika digunakan untuk melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan maatematika yang berhubungan dengan bilangan asli. Prinsip induksi matematika yaitu:

Misalkan P(n) merupakan suatu bilangan asli, P(n) bernilai benar jika memenuhi langkah sebagai berikut:

1. Langkah Awal: P(1) bernilai benar.
2. Langkah Induksi: Jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar, dimana k adalah bilangan asli.

Penggunaan induksi matematis pertama dalam buku Arithmeticorum Libri Duo yang ditulis oleh Francesco Maurolico adalah untuk membuktikan bahwa jumlah n bilangan bulat positif ganjil pertama sama dengan n².

Contoh Penerapan Induksi Matematika pada Barisan Bilangan

Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama sama dengan n².

Jawab:

Sebelum masuk pada prinsip induksi matematika terlebih dahulu membuat polanya. Pola bilangan ganjil positif adalah 2n – 1, dimana n adalah bilangan asli.

Sehingga jumlah n bilangan ganjil pertama adalah:

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n²

Prinsip induksi matematika:

Langkah awal:

• Untuk n = 1, maka P(1) = 1 = 1²
• Maka, P(1) bernilai benar.

Langkah induksi:

• Karena P(1) bernilai benar maka P(2) juga bernilai benar.
• Misalkan: n = k, sehingga;
• P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) = k², untuk k bilangan asli.
• Akan ditunjukkan bahwa P(k) maka P(k + 1) juga benar.
•  Misalkan n = k + 1, maka:

• Dari uraian di atas, k² + 2k + 1 = (k + 1)² memenuhi prinsip induksi matematika, sehingga benar bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n², untuk setiap n bilangan asli.

Contoh Penerapan Induksi Matematika pada Keterbagian

Bilangan a habis dibagi dengan bilangan n, jika bilangan a tersebut memiliki faktor n atau ketika a dibagii dengan n bersisa 0.

“Asiyah memiliki 18 gelas yang akan dibagikan kepada beberapa orang anak. Berapa gelaskah yang akan diterima masing-masing anak jika terdapat 6 anak?”

Gambar 1

Jika semua gelas tersebut dibagi sama rata, maka masing-masing anak akan mendapatkan 3 buah gelas dan bersisa nol gelas. Jadi, 18 gelas terbagi menjadi 3 gelas untuk masing-masing anak dari 6 anak. Maka faktor dari 18 adalah 6 dan 3.

Jika gelas tersebut dibagikan ke 4 orang anak sama rata, maka masih ada gelas yang tersisa. Karena 4 bukan faktor dari 18. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 2

Jadi, 18 habis dibagi 6 karena 18=6×m, dimana m di sini adalah 3.

Untuk contoh yang lain,

124 habis dibagi 4 jika ada suatu bilangan jika dikalikan dengan 4 maka hasilnya adalah 124. Dalam hal ini bilangan tersebut adalah 31. Jadi faktor dari 124 adalah 4 dan 31.

Perhatikan contoh berikut.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 3²ⁿ-1 habis dibagi 8, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab:

Langkah awal

Misalkan n = 1 atau bilangan asli lainnya. Pada pembahasan ini, kita buktikan n = 1 dan n = 3

n = 1, sehingga

3²⁽¹⁾-1 = 3²-1

      =9-1

=8→ 8:8=1, habis dibagi 8

n = 3, sehingga

3²⁽³⁾-1= 3⁶-1

=729-1

=728→728:8=91, habis dibagi 8

Pada langkah ini, bernilai benar sehingga memenuhi syarat pertama

Langkah induksi

n = k

P(k)=3^2(k)-1

Misalkan:

32k-1=8m (syarat 32k-1 habis dibagi 8 jika memiliki faktor 8)

3^2k= 8m+1(Persamaan 1)

n = k + 1

P(k+1)= 3^2(K+1)-1 (semua nilai n disubstitusikan teerhadap k + 1)

= 3^2k+2-1

= (3^2k×3²)-1

= ((8m+1)×3²)-1 (subtitusi persamaan 1 ke 3^2k)

= ((8m+1)×9)-1 (uraikan)

= (72m+9)-1

= 72m+8

= 8 (9m+1)

∴3²ⁿ-1 habis dibagi 8 karena mempunyai faktor 8.

Contoh Tambahan

Dengan menggunakan induksi matematika, buktikanlah pernyataan 1 + 4 + 7 + 10 + … + (3n – 2) = ½ n (3n – 1) bernilai benar.

Penyelesaian:

Langkah Awal:

Misalkan n = 4

P(4)  1 + 4 + 7 + 10 = ½ (4)(3(4) – 1)

22            = 2(12 – 1)

22            = 2(11)

22            = 22          (Benar)

Langkah Induksi:

• Misalkan n = k

Substitusikan nilai n menjadi nilai k pada persamaan:

1 + 4 + 7 + 10 + … + (3k– 2) = ½ k (3k – 1)

• Misalkan n = k + 1

Ruas kiri sama dengan ruas kanan sehingga pernyataan

1 + 4 + 7 + 10 + … + (3n – 2) = ½ n (3n – 1) bernilai benar