Pembuktian Aturan Sinus dan Cosinus

Pembuktian Aturan Sinus dan Cosinus

1. Aturan Sinus

Untuk mengetahui rumus aturan sinus, kita dapat membuktikan dengan menggunakan segitiga sembarang. Selain itu, kita juga harus mengetahui definisi garis tinggi dan garis berat.

Garis tinggi adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan berpotongan tegak lurus dengan sisi di hadapannya. Garis tinggi akan membentuk sudut siku-siku.

Garis berat adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan memotong sisi di hadapannya menjadi dua bagian yang sama panjang.

Untuk menentukan aturan sinus, perhatikan uraian berikut.

1. Buatlah segitiga sembarang

Diberikan segitiga sembarang dengan AB = c, BC = a, dan AC = b.

1. Buatlah garis tinggi yang dibentuk dari sudut-sudutnya.

a. Garis tinggi yang dibentuk dari sudut C

Pada gambar di atas, garis tinggi dibentuk dengan menarik garis dari sudut C ke sisi AB sehingga membentuk dua segitiga yaitu [latex]\large \Delta ACP[/latex] dan [latex]\large \Delta BCP[/latex] . Karena garis CP adalah garis tinggi, maka kedua segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Perhatikan . Untuk mengetahui sin A maka kita harus ingat perbandingan trigonometrinya.

• [latex]\large sin\: A = \frac{sisi \:depan}{sisi \:miring}[/latex]
• [latex]\large sin\: A = \frac{CP}{AC}[/latex]
• [latex]\large sin\: A = \frac{CP}{b}[/latex]
• [latex]\large \large CP = sin \: A \cdot b[/latex]    ……………(1)

Langkah selanjutnya adalah perhatikan [latex]\large \Delta BCP[/latex]

• [latex]\large sin\: B = \frac{sisi \:depan}{sisi \:miring}[/latex]
• [latex]\large sin\: B = \frac{CP}{BC}[/latex]
• [latex]\large sin\: B = \frac{CP}{b}[/latex]
• [latex]\large CP = sin \: B \cdot a[/latex]     ……………(2)

Dari kedua persamaan di atas maka dapat ditentukan bahwa:

[latex]\large sin \: A \cdot b = sin \: B\cdot a \Rightarrow \frac{a}{sin\: A}= \frac{b}{sin\: B}[/latex]     …………..(3)

b. Garis tinggi yang dibentuk dari sudut B

Dengan cara yang sama dengan langkah sebelumnya dalam menarik garis tinggi, maka dibuat garis tinggi dari sudut B ke titik P. Sehingga membentuk dua segitiga siku-siku, yaitu segitiga siku-siku ABQ dan BCQ.

Perhatikan segitiga BCQ dengan sudut siku-siku di Q.

• [latex]\large sin\: C = \frac{sisi \:depan}{sisi \:miring}[/latex]
• [latex]\large sin\: C = \frac{BQ}{BC}[/latex]
• [latex]\large sin\: C = \frac{BQ}{a}[/latex]
• [latex]\large BQ = sin \: C \cdot a[/latex]     ……………(4)

Selanjutnya perhatikan segitiga ABQ

• [latex]\large sin\: C = \frac{sisi \:depan}{sisi \:miring}[/latex]
• [latex]\large sin\: C = \frac{BQ}{AB}[/latex]
• [latex]\large sin\: C = \frac{BQ}{c}[/latex]
• [latex]\large BQ = sin \: A \cdot c[/latex]     ……………(5)

Pada persamaan (4) dan (5) maka didapatkan:

[latex]\large sin \: C \cdot a = sin \: A\cdot c \Rightarrow \frac{a}{sin\: A}= \frac{c}{sin\: C}[/latex]    ……………(6)

Jadi, dari persamaan (3) dan (6), didapatkan sebagai berikut:

[latex]\large \frac{a}{sin\: A}= \frac{b}{sin\: b} \:dan\: \frac{a}{sin\: A}= \frac{c}{sin\: C}[/latex]

[latex]\large \frac{a}{sin\: A}= \frac{b}{sin\: b} = \frac{c}{sin\: C}[/latex]

2. Aturan Cosinus

Sama halnya dengan aturan sinus, pembuktian aturan cosinus juga harus memperhatihan garis tinggi dan garis berat. Garis tinggi dibutuhkan untuk membentuk sudut siku-siku pada segitiga sembarang. Langkah yang digunakan sama halnya dengan langkah pertama pada aturan sinus yaitu membuat segitiga sembarang. Untuk lengkapnya, kalian dapat melihat kembali segitiga sembarang yang sebelumnya telah kita buat untuk membuktikan aturan sinus.

Rumus aturan sinus:

1. [latex]\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\:cos\:\angle A[/latex]
2. [latex]\large b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\:cos\:\angle B[/latex]
3. [latex]\large c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\:cos\:\angle C[/latex]

Berikut cara membuktikan rumus aturan sinus.

1.Garis tinggi yang dibentuk dari sudut C.

Perhatikan gambar berikut.

• [latex]\large cos\: B = \frac{sisi \:samping}{sisi \:miring}[/latex]
• [latex]\large cos\: B = \frac{PB}{CB}[/latex]
• [latex]\large cos\: B = \frac{PB}{a}[/latex]
• [latex]\large PB = a\: cos \: B[/latex]   ……………(1)

Perhatikan dua segitiga siku-siku yang dibentuk dengan menarik garis tinggi dari sudut C ke titik P. Maka dengan menggunakan teorema Pythagoras kita peroleh sebagai berikut:

• [latex]\large a^{2}=PB^{2}+CP^{2}\Rightarrow CP^{2}=a^{2}+PB^{2}[/latex]
• [latex]\large b^{2}=(c-PB)^{2}+CP^{2}[/latex]
• [latex]\large b^{2}=(c-PB)^{2}+a^{2}-PB^{2}[/latex]
• [latex]\large b^{2}=c^{2}+PB^{2}-2.c.PB +a^{2}-PB^{2}[/latex]
• [latex]\large b^{2}=c^{2}+a^{2}-2.c.PB[/latex]     ……………(2)

Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga didapatkan

[latex]\large b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\:cos\:B[/latex]     ……………(3)

b. Garis tinggi yang dibentuk dari sudut B

[latex]\large cos \: A = \frac{AQ}{AB}[/latex]

[latex]\large cos \: A = \frac{AQ}{c}\Leftrightarrow AQ=c\:cos\:A[/latex]     ……………(4)

Perhatikan kedua segitiga yang terbentuk, yaitu [latex]\large \Delta ABQ[/latex]  dan [latex]\large \Delta BCQ[/latex]  , dengan menggunakan teorema pythagorasi, maka:

• [latex]\large c^{2}=BQ^{2}+AQ^{2}\Rightarrow BQ^{2}=c^{2}-AQ^{2}[/latex]
• [latex]\large a^{2}=(b-AQ)^{2}+QB^{2}[/latex]
• [latex]\large a^{2}=(b-AQ)^{2}+c^{2}-AQ^{2}[/latex]
• [latex]\large a^{2}=b^{2}-AQ^{2}-2.b.AQ+c^{2}-AQ^{2}[/latex]
• [latex]\large a^{2}=b^{2}-c^{2}-2.b.AQ{2}[/latex]     ……………(5)

Jika persamaan (4) disubtitusikan ke dalam persamaan (5), maka:

[latex]\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2.bc\:cos\:A{2}[/latex]     ……………(6)

c. Garis tinggi yang dibentuk dari sudut A

[latex]\large cos \: C = \frac{CR}{AC}[/latex]

[latex]\large cos \: C = \frac{CR}{b}\Leftrightarrow CR=b\:cos\:C[/latex]     ……………(7)

Perhatikan kedua segitiga yang terbentuk, yaitu [latex]\large \Delta BCR[/latex]  dan [latex]\large \Delta ABR[/latex]  , dengan menggunakan teorema pythagorasi, maka:

• [latex]\large b^{2}=AR^{2}+CR^{2}\Rightarrow AR^{2}=b^{2}-CR^{2}[/latex]
• [latex]\large c^{2}=(a-CR)^{2}+AR^{2}[/latex]
• [latex]\large c^{2}=(a-CR)^{2}+b^{2}-CR^{2}[/latex]
• [latex]\large c^{2}=a^{2}-CR^{2}-2.a.CR+b^{2}-CR^{2}[/latex]
• [latex]\large c^{2}=a^{2}+b^{2}-2.b.CR{2}[/latex]     ……………(8)

Jika persamaan (7) disubtitusikan ke dalam persamaan (8), maka:

[latex]\large c^{2}=a^{2}+b^{2}-2.ab\:cos\:C{2}[/latex]     ……………(9)

Lebih lanjut, dari persamaan (3), (6), dan (9) kita dapat menurunkan rumus sudut-sudut segitiga, dengan ketiga sisinya diketahui sebagai berikut:

1. [latex]\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\:bc\: cos\: \angle A \Rightarrow cos \angle A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}[/latex]
2. [latex]\large b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\:ac\: cos\: \angle B \Rightarrow cos \angle B=\frac{a^{2}+c^{2}-a^{2}}{2ac}[/latex]
3. [latex]\large c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\:ab\: cos\: \angle C \Rightarrow cos \angle C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2bc}[/latex]