Setelah kita memahami ukuran sudut yaitu derajat dan radian, selanjutnya yang harus kita pahami dalam konsep trigonometri yaitu sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen pada segitiga siku-siku.
Trigonometri sangat erat kaitannya dengan sudut segitiga, karena asal kata trigonometri sendiri yang berarti mengukur tiga sudut (berasal dari kata Yunani, trigonon: tiga sudut dan metro: mengukur). Jika berbicara mengenai trigonometri tidak akan bisa lepas dari sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.
- Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut pad aSegitiga Siku-Siku
Segitiga siku-siku yaitu segitiga dengan salah satu sudutnya adalah [latex]90^{o}[/latex]. Dalam segitiga siku-siku terdapat sisi miring yang disebut hipotenusa. Kuadrat hipotenusa yaitu jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya. Secara sistematis, teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut.
[latex]\large a^{2} + b^{2} = c^{2}[/latex]
dengan a dan b adalah sisi siku-siku dan c adalah sisi miringnya. Untuk lebih jelasnya maka perhatikan gambar berikut.
- Perbandingan Sinus (sin), Cosinus (cos), Tangen (tan), Cosecan (scs), Secan (sec), dan Cotangen (cot).
Untuk mengetahui rasio trigonometri, kita menggunakan segitiga siku-siku. Untuk itu, kita harus mengetahui letak sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
- Sisi Miring adalah sisi di depan sudut siku-siku.
- Sisi Depan adalah sisi di depan sudut α.
- Sisi Samping adalah sisi siku-siku lainnya.
Setelah mengetahui sisi miring, sisi depan, dan sisi samping, selanjutnya kita akan membahas definisi sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.
-
[latex]\LARGE sin \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{BC}{AC}[/latex]
-
[latex]\LARGE cos \ \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{AB}{AC}[/latex]
-
[latex]\LARGE tan \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{BC}{AB}[/latex]
-
[latex]\LARGE cosec \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{BC}[/latex]
-
[latex]\LARGE secan \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}[/latex]
-
[latex]\LARGE cotan \: \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}[/latex]
Contoh:
Tentukan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut Q dan R pada segitaga berikut.
Jawab:
[latex]\large PQ = \sqrt{QR^{2}-PR^{2}}[/latex]
[latex]\large PQ = \sqrt{2^{2}-1^{2}}[/latex]
[latex]\large PQ = \sqrt{4-1}[/latex]
[latex]\large PQ = \sqrt{3}[/latex]
- Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Sudut istimewa meliputi [latex]\large 0^{o}[/latex],[latex]\large 30^{o}[/latex], [latex]\large 45^{o}[/latex], [latex]\large 60^{o}[/latex], [latex]\large 90^{o}[/latex], dan sudut istimewa lainnya pada kuadran II, III, dan IV. Sudut istimewa dihasilkan dengan menggunakan teori geometri.
Untuk mencari sudut istimewa dapat digunakan beberapa bidang datar untuk mencara nilai sudut istimewa tersebut.
- Sudut 30dan 60
Untuk mencari nilai perbandingan sudut [latex]30^{o}[/latex] kita menggunakan segitiga sama sisi.
Segitiga sama sisi memiliki sisi-sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar. Sudut-sudut segitiga sama sisi masing-masing adalah [latex]60^{o}[/latex].
Segitiga sama sisi ABC memiliki panjang sisi-sisinya adalah 2x satuan. Titik D adalah titik tengah AB, sehingga jika ditarik garis dari titik C ke titik D akan membagi segitiga sama sisi tersebut menjadi segitiga sama sisi, dengan sudut siku-siku di D.
Karena titik D merupakan titik tengah, maka panjang AD =BD = [latex]\frac{1}{2}[/latex] AC = x
maka diperoleh:
[latex]\bigtriangleup ACD \cong \bigtriangleup BCD[/latex]
[latex]\angle ACD \cong \angle BCD = 30^{o}[/latex]
Sehingga [latex]\bigtriangleup ACD[/latex] adalah segitiga siku-siku dengan[latex]\angle D[/latex] adalah sudut siku-siku.Dengan menggunakan teorema phytagoras, maka dapat ditentukan panjang sisi CD
[latex]CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}[/latex]
[latex]CD^{2}=2x^{2}-x^{2}[/latex]
[latex]CD^{2}=4x^{2}-x^{2}[/latex]
[latex]CD^{2}=3x^{2}[/latex]
[latex]CD=\sqrt{3x^{2}}[/latex]
[latex]CD=\sqrt{3}\, x[/latex]
1. Untuk [latex]\angle ACD = 30^{o}[/latex]
-
[latex]sin \: 30^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}[/latex]
-
[latex]cos \: 30^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}[/latex]
-
[latex]tan \: 30^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}[/latex]
-
[latex]cosec \: 30^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2[/latex]
-
[latex]secan \: 30^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}[/latex]
-
[latex]cotan \: 30^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}[/latex]
2. Untuk [latex]\angle CAD = 60^{o}[/latex]
-
[latex]sin \: 60^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}[/latex]
-
[latex]cos \: 60^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}[/latex]
-
[latex]tan\: 60^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}[/latex]
-
[latex]cosec \: 60^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}[/latex]
-
[latex]secan \: 60^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2[/latex]
-
[latex]cotan \: 60^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}[/latex]
- Sudut 45
Untuk mencari perbandingan sudut pada sudut 45, maka kita menggunakan persegi.
Pada persegi di atas, jika dibuat garis diagonal dari titik A ke titik C akan membentuk segitiga siku-siku yang memiliki dua sisi yang sama.
Perhatikan segitiga ABC. [latex]AB =BC=x,\: \angle A=\angle C= 45^{o}[/latex] dan [latex]\angle B= 90^{o}[/latex]. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka:
[latex]AC^{2}= AB^{2} + BC^{2}[/latex]
[latex]AC^{2}= x^{2} + x^{2}[/latex]
[latex]AC^{2}= 2x^{2}[/latex]
[latex]AC= \sqrt{2x^{2}}[/latex]
[latex]AC=2\sqrt{2}[/latex]
-
[latex]sin\: 45^{o} = \frac{BC}{AC}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}[/latex]
-
[latex]cos\: 45^{o} = \frac{AB}{AC}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}[/latex]
-
[latex]tan\: 45^{o} = \frac{BC}{AB}=\frac{x}{x}=1[/latex]
-
[latex]cosec\: 45^{o} = \frac{AC}{BC}=\frac{x\sqrt{2}}{x}=\sqrt{2}[/latex]
-
[latex]secan\: 45^{o} = \frac{AC}{AB}=\frac{x\sqrt{2}}{x}=\sqrt{2}[/latex]
-
[latex]cotan\: 45^{o} = \frac{AB}{BC}=\frac{x}{x}=1[/latex]
Tabel 1 Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa
[latex]0^{o}[/latex] | [latex]30^{o}[/latex] | [latex]45^{o}[/latex] | [latex]60^{o}[/latex] | [latex]90^{o}[/latex] | |
[latex]sin\: \alpha[/latex] | 0 | [latex]\frac{1}{2}[/latex] | [latex]\frac{1}{2}\sqrt{2}[/latex] | [latex]\frac{1}{2}\sqrt{3}[/latex] | 1 |
[latex]cos\: \alpha[/latex] | 1 | [latex]\frac{1}{2}\sqrt{3}[/latex] | [latex]\frac{1}{2}\sqrt{2}[/latex] | [latex]\frac{1}{2}[/latex] | 0 |
[latex]tan\: \alpha[/latex] | 0 | [latex]\frac{1}{3}\sqrt{3}[/latex] | 1 | [latex]\sqrt{3}[/latex] | – |
[latex]csc\: \alpha[/latex] | – | 2 | [latex]\sqrt{2}[/latex] | [latex]\frac{2}{3}\sqrt{3}[/latex] | 1 |
[latex]sec\: \alpha[/latex] | 1 | [latex]\frac{2}{3}\sqrt{3}[/latex] | [latex]\sqrt{2}[/latex] | 2 | – |
[latex]cotan\: \alpha[/latex] | – | [latex]\sqrt{3}[/latex] | 1 | [latex]\frac{1}{3}\sqrt{3}[/latex] | 0 |
Contoh:
Hitunglah:
- [latex]\frac{sin\: 30^{o}\times cos\: 60^{o}}{csc\: 45^{o}}[/latex]
- [latex]\frac{2\left ( cos\: 60^{o} \right )^{2}+4(sec\: 30^{o})^{2}-(tan\: 45^{o})^{2}} {\left ( sin \: 30^{o} \right )^{2}+(cos\: 30^{o})^{2}}[/latex]
Jawab:
- [latex]\frac{sin\: 30^{o}\times cos\: 60^{o}}{csc\: 45^{o}}[/latex]
[latex]=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}[/latex]
[latex]=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}[/latex]
[latex]=\frac{1}{4}\times \frac{2}{\sqrt{2}}[/latex]
[latex]=\frac{1}{2\sqrt{2}}\times \frac{2}{\sqrt{2}}[/latex]
[latex]=\frac{1}{4}\sqrt{2}[/latex]
- [latex]\frac{2\left ( cos\: 60^{o} \right )^{2}+4(sec\: 30^{o})^{2}-(tan\: 45^{o})^{2}} {\left ( sin \: 30^{o} \right )^{2}+(cos\: 30^{o})^{2}}[/latex]
[latex]=\frac{2\left ( \frac{1}{2}\right )^{2} + 4(\frac{2}{3}\sqrt{3})^{2}-(\frac{1}{2}\sqrt{2})^{2}} {(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2}\sqrt{3})^{2}}[/latex]
[latex]=\frac{\frac{1}{2}+\frac{16}{3}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}[/latex]
[latex]=\frac{\frac{16}{3}}{1}[/latex]
[latex]=\frac{16}{3}[/latex]
Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Berbagai Kuadran
Untuk mengetahui perbandingan trigonometri sudut [latex]\alpha[/latex] didefinisikan sebagai berikut:
-
[latex]\large sin \: \alpha = \frac{ordinat}{jarak} = \frac{y}{r}[/latex]
-
[latex]\large cos \: \alpha = \frac{absis}{jarak} = \frac{x}{r}[/latex]
-
[latex]\large tan \: \alpha = \frac{ordinat}{absis} = \frac{y}{x}[/latex]
-
[latex]\large cosec \: \alpha = \frac{jarak}{ordinat} = \frac{r}{y}[/latex]
-
[latex]\large sec \: \alpha = \frac{jarak}{absis} = \frac{r}{x}[/latex]
-
[latex]\large cotan \: \alpha = \frac{absis}{ordinat} = \frac{r}{x}[/latex]
- Sudut [latex]\alpha[/latex] di kuadran I, jika [latex]\large 0^{o} \leq \alpha \leq 90^{o}[/latex]
- Sudut [latex]\alpha[/latex] di kuadran II, jika [latex]\large 90^{o} \leq \alpha \leq 180^{o}[/latex]
- Sudut [latex]\alpha[/latex] di kuadran III, jika [latex]\large 180^{o} \leq \alpha \leq 270^{o}[/latex]
- Sudut [latex]\alpha[/latex] di kuadran IV, jika [latex]\large 270^{o} \leq \alpha \leq 360^{o}[/latex]
Tanda nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran sebagai berikut.
Perbandingan Trigonometri | Sudut di Kuadran | |||
I | II | III | IV | |
[latex]\large sin \: \alpha[/latex] | + | + | – | – |
[latex]\large cos \: \alpha[/latex] | + | – | – | + |
[latex]\large tan \: \alpha[/latex] | + | – | + | – |
[latex]\large csc \: \alpha[/latex] | + | + | – | – |
[latex]\large sec \: \alpha[/latex] | + | – | – | + |
[latex]\large cotan \: \alpha[/latex] | + | – | + | – |
Contoh:
Diketahui titik P(-5, 12). Jika [latex]\large \angle XOP[/latex], maka tentukan sin [latex]\large \alpha[/latex], cos [latex]\large \alpha[/latex], dan tan [latex]\large \alpha[/latex]
.Jawab:
[latex]\large r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}[/latex]
[latex]\large r = \sqrt{-5^{2}+7^{2}}[/latex]
[latex]\large r = \sqrt{25+144}[/latex]
[latex]\large r = \sqrt{169}[/latex]
[latex]\large r = 13[/latex]
- [latex]\large sin \: \alpha = \frac{y}{r} = \frac{12}{13}[/latex]
- [latex]\large cos \: \alpha = \frac{x}{r} = \frac{5}{13}[/latex]
- [latex]\large tan \: \alpha = \frac{y}{x} = \frac{12}{5}[/latex]
Sangat membantu
sama-sama kak alex, semoga bermanfaat
sama-sama
Thankyou ^-^
sama-sama kak Amalia ^-^
Terima kasih sangat membantu,. Tapi untuk tulisan pada contoh soal dan rumus-rumusnya terlalu kecil, jadi kurang enak dilihat
terimakasi kak atas sarannya, berikutnya akan kami perbaiki. 😀
Salam dari kami mathematics4us.com
Wadoh membantu sekali gan terimah kasih materinya
sama-sama kak 😀 mathematics4us.com
Thanks udah saya copas gak papa ya hhehehehe^ ^
silahkan… tapi jangan lupa cantum kan sumber nya 😀
terima kasih
Salam dari kami mathematics4us.com
Kak yang tan 45° = BC /AC?? Bukannya digambar harusnya tam 45° = BC / AB??
Saya binggung, atau saya yang salah??
oh ia,,, mono maaf kami salah,,
kami sudah memperbaiki sesuai dengan sarannya….
terima kasih banyak
salam dari kami mathematics4us
Trus kak yang x/x = x??? Bukannya x/x = 1 ??
Saya binggung???
pelajaran susah nih mending kita giting aj #suckschool
gan sya copas trus sya edit lagi buat web sya heehehe ga pp ya
Silahkan taoi jgn Lupa tulis sumbernya yah
Salam dari kami mathematics4us.com
Super sekali,nice work bro,i like
Makasih kang, sangat membantu sekali
sama sama kang Den 😀
materi nya masih kurang lengkap untuk penjelasaan secara mendetail.
merasa tidak puas dengan hasil postingan ini.
kami akan berusaha melengkapinya kk..
terima kasih atas masukannya
Terimakasih… sangat membantu 🙂 tapi kenapa itu sisi miring nya yang PQ ya?? Bukannya sisi miring nya itu yang 2? memang kalo dari gambar itu miring, apa emang seperti itu? jadi sisi miring itu bukan hipotenuse nya? maaf banyak nanya:3 terimakasih
kami sanga berterimakasih… sudah mengkoreksi kesalahan di artkel ini, kami sudah melakukan revisi di artikel ini….. 😀
Assalammualaikum teman, penjelasannya menurut saya sudah bagus, saya meminta izin untuk mengcopas nya boleh ya, saya akan meletakkan sumber nya juga.
Terimakasih
silahkan….
dan terimakasih kembali