Setelah kita memahami ukuran sudut yaitu derajat dan radian, selanjutnya yang harus kita pahami dalam konsep trigonometri yaitu sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen pada segitiga siku-siku.

Trigonometri sangat erat kaitannya dengan sudut segitiga, karena asal kata trigonometri sendiri yang berarti mengukur tiga sudut (berasal dari kata Yunani, trigonon: tiga sudut dan metro: mengukur). Jika berbicara mengenai trigonometri tidak akan bisa lepas dari sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.

Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut pad aSegitiga Siku-Siku

Segitiga siku-siku yaitu segitiga dengan salah satu sudutnya adalah $90^{o}$ . Dalam segitiga siku-siku terdapat sisi miring yang disebut hipotenusa. Kuadrat hipotenusa yaitu jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya. Secara sistematis, teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut.

$\large a^{2} + b^{2} = c^{2}$

dengan a dan b adalah sisi siku-siku dan c adalah sisi miringnya. Untuk lebih jelasnya maka perhatikan gambar berikut.

Perbandingan Sinus (sin), Cosinus (cos), Tangen (tan), Cosecan (scs), Secan (sec), dan Cotangen (cot).

Untuk mengetahui rasio trigonometri, kita menggunakan segitiga siku-siku. Untuk itu, kita harus mengetahui letak sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Sisi Miring adalah sisi di depan sudut siku-siku.
Sisi Depan adalah sisi di depan sudut α.
Sisi Samping adalah sisi siku-siku lainnya.

Setelah mengetahui sisi miring, sisi depan, dan sisi samping, selanjutnya kita akan membahas definisi sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.

$\LARGE sin \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{BC}{AC}$
$\LARGE cos \ \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{AB}{AC}$
$\LARGE tan \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{BC}{AB}$
$\LARGE cosec \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{BC}$
$\LARGE secan \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}$
$\LARGE cotan \: \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}$

Contoh:

Tentukan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut Q dan R pada segitaga berikut.

Jawab:

$\large PQ = \sqrt{QR^{2}-PR^{2}}$

$\large PQ = \sqrt{2^{2}-1^{2}}$

$\large PQ = \sqrt{4-1}$

$\large PQ = \sqrt{3}$

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Sudut istimewa meliputi $\large 0^{o}$ , $\large 30^{o}$ , $\large 45^{o}$ , $\large 60^{o}$ , $\large 90^{o}$ , dan sudut istimewa lainnya pada kuadran II, III, dan IV. Sudut istimewa dihasilkan dengan menggunakan teori geometri.

Untuk mencari sudut istimewa dapat digunakan beberapa bidang datar untuk mencara nilai sudut istimewa tersebut.

Sudut 30dan 60

Untuk mencari nilai perbandingan sudut $30^{o}$ kita menggunakan segitiga sama sisi.

Segitiga sama sisi memiliki sisi-sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar. Sudut-sudut segitiga sama sisi masing-masing adalah $60^{o}$ .

Segitiga sama sisi ABC memiliki panjang sisi-sisinya adalah 2x satuan. Titik D adalah titik tengah AB, sehingga jika ditarik garis dari titik C ke titik D akan membagi segitiga sama sisi tersebut menjadi segitiga sama sisi, dengan sudut siku-siku di D.

Karena titik D merupakan titik tengah, maka panjang AD =BD = $\frac{1}{2}$ AC = x

maka diperoleh:

$\bigtriangleup ACD \cong \bigtriangleup BCD$ $\angle ACD \cong \angle BCD = 30^{o}$

Sehingga $\bigtriangleup ACD$ adalah segitiga siku-siku dengan $\angle D$ adalah sudut siku-siku.Dengan menggunakan teorema phytagoras, maka dapat ditentukan panjang sisi CD

$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}$

$CD^{2}=2x^{2}-x^{2}$

$CD^{2}=4x^{2}-x^{2}$

$CD^{2}=3x^{2}$

$CD=\sqrt{3x^{2}}$

$CD=\sqrt{3}\, x$

1. Untuk $\angle ACD = 30^{o}$

$sin \: 30^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$
$cos \: 30^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$tan \: 30^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$cosec \: 30^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2$
$secan \: 30^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$cotan \: 30^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$

2. Untuk $\angle CAD = 60^{o}$

$sin \: 60^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$cos \: 60^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$
$tan\: 60^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$
$cosec \: 60^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$secan \: 60^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2$
$cotan \: 60^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Sudut 45

Untuk mencari perbandingan sudut pada sudut 45, maka kita menggunakan persegi.

Pada persegi di atas, jika dibuat garis diagonal dari titik A ke titik C akan membentuk segitiga siku-siku yang memiliki dua sisi yang sama.

Perhatikan segitiga ABC. $AB =BC=x,\: \angle A=\angle C= 45^{o}$ dan $\angle B= 90^{o}$ . Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka:

$AC^{2}= AB^{2} + BC^{2}$

$AC^{2}= x^{2} + x^{2}$

$AC^{2}= 2x^{2}$

$AC= \sqrt{2x^{2}}$

$AC=2\sqrt{2}$

$sin\: 45^{o} = \frac{BC}{AC}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos\: 45^{o} = \frac{AB}{AC}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$tan\: 45^{o} = \frac{BC}{AB}=\frac{x}{x}=1$
$cosec\: 45^{o} = \frac{AC}{BC}=\frac{x\sqrt{2}}{x}=\sqrt{2}$
$secan\: 45^{o} = \frac{AC}{AB}=\frac{x\sqrt{2}}{x}=\sqrt{2}$
$cotan\: 45^{o} = \frac{AB}{BC}=\frac{x}{x}=1$

Tabel 1 Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

	$0^{o}$	$30^{o}$	$45^{o}$	$60^{o}$	$90^{o}$
$sin\: \alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	1
$cos\: \alpha$	1	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tan\: \alpha$	0	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	1	$\sqrt{3}$	–
$csc\: \alpha$	–	2	$\sqrt{2}$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	1
$sec\: \alpha$	1	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$\sqrt{2}$	2	–
$cotan\: \alpha$	–	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	0

Contoh:

Hitunglah:

$\frac{sin\: 30^{o}\times cos\: 60^{o}}{csc\: 45^{o}}$

$\frac{2\left ( cos\: 60^{o} \right )^{2}+4(sec\: 30^{o})^{2}-(tan\: 45^{o})^{2}} {\left ( sin \: 30^{o} \right )^{2}+(cos\: 30^{o})^{2}}$

Jawab:

$\frac{sin\: 30^{o}\times cos\: 60^{o}}{csc\: 45^{o}}$

$=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}$

$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{4}\times \frac{2}{\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\times \frac{2}{\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{2}$

$\frac{2\left ( cos\: 60^{o} \right )^{2}+4(sec\: 30^{o})^{2}-(tan\: 45^{o})^{2}} {\left ( sin \: 30^{o} \right )^{2}+(cos\: 30^{o})^{2}}$

$=\frac{2\left ( \frac{1}{2}\right )^{2} + 4(\frac{2}{3}\sqrt{3})^{2}-(\frac{1}{2}\sqrt{2})^{2}} {(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2}\sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{\frac{1}{2}+\frac{16}{3}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$

$=\frac{\frac{16}{3}}{1}$

$=\frac{16}{3}$

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Berbagai Kuadran

Untuk mengetahui perbandingan trigonometri sudut $\alpha$ didefinisikan sebagai berikut:

$\large sin \: \alpha = \frac{ordinat}{jarak} = \frac{y}{r}$
$\large cos \: \alpha = \frac{absis}{jarak} = \frac{x}{r}$
$\large tan \: \alpha = \frac{ordinat}{absis} = \frac{y}{x}$
$\large cosec \: \alpha = \frac{jarak}{ordinat} = \frac{r}{y}$
$\large sec \: \alpha = \frac{jarak}{absis} = \frac{r}{x}$
$\large cotan \: \alpha = \frac{absis}{ordinat} = \frac{r}{x}$

Sudut $\alpha$ di kuadran I, jika $\large 0^{o} \leq \alpha \leq 90^{o}$
Sudut $\alpha$ di kuadran II, jika $\large 90^{o} \leq \alpha \leq 180^{o}$
Sudut $\alpha$ di kuadran III, jika $\large 180^{o} \leq \alpha \leq 270^{o}$
Sudut $\alpha$ di kuadran IV, jika $\large 270^{o} \leq \alpha \leq 360^{o}$

Tanda nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran sebagai berikut.

Perbandingan Trigonometri	Sudut di Kuadran
Perbandingan Trigonometri	I	II	III	IV
$\large sin \: \alpha$	+	+	–	–
$\large cos \: \alpha$	+	–	–	+
$\large tan \: \alpha$	+	–	+	–
$\large csc \: \alpha$	+	+	–	–
$\large sec \: \alpha$	+	–	–	+
$\large cotan \: \alpha$	+	–	+	–

Contoh:

Diketahui titik P(-5, 12). Jika $\large \angle XOP$ , maka tentukan sin $\large \alpha$ , cos $\large \alpha$ , dan tan $\large \alpha$

.Jawab:

$\large r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$\large r = \sqrt{-5^{2}+7^{2}}$

$\large r = \sqrt{25+144}$

$\large r = \sqrt{169}$

$\large r = 13$

$\large sin \: \alpha = \frac{y}{r} = \frac{12}{13}$
$\large cos \: \alpha = \frac{x}{r} = \frac{5}{13}$
$\large tan \: \alpha = \frac{y}{x} = \frac{12}{5}$

27 Comments

Alex says:

18/09/2017 at 1:22 PM

Sangat membantu

- admin says:
  
  19/01/2018 at 1:16 AM
  
  sama-sama kak alex, semoga bermanfaat
  
- admin says:
  
  19/01/2018 at 1:16 AM
  
  sama-sama
  
Amalia says:

22/09/2017 at 10:54 PM

Thankyou ^-^

- admin says:
  
  19/01/2018 at 1:17 AM
  
  sama-sama kak Amalia ^-^
  
Si Ron says:

08/11/2017 at 9:30 AM

Terima kasih sangat membantu,. Tapi untuk tulisan pada contoh soal dan rumus-rumusnya terlalu kecil, jadi kurang enak dilihat

- admin says:
  
  19/01/2018 at 1:21 AM
  
  terimakasi kak atas sarannya, berikutnya akan kami perbaiki. 😀
  Salam dari kami mathematics4us.com
  
nonameeeee says:

05/01/2018 at 3:31 AM

Wadoh membantu sekali gan terimah kasih materinya

- admin says:
  
  19/01/2018 at 1:22 AM
  
  sama-sama kak 😀 mathematics4us.com
  
Ajie says:

21/01/2018 at 11:46 AM

Thanks udah saya copas gak papa ya hhehehehe^ ^

- admin says:
  
  22/01/2018 at 1:01 PM
  
  silahkan… tapi jangan lupa cantum kan sumber nya 😀
  terima kasih
  Salam dari kami mathematics4us.com
  
Deden says:

03/02/2018 at 12:33 PM

Kak yang tan 45° = BC /AC?? Bukannya digambar harusnya tam 45° = BC / AB??

Saya binggung, atau saya yang salah??

- admin says:
  
  10/02/2018 at 3:53 AM
  
  oh ia,,, mono maaf kami salah,,
  kami sudah memperbaiki sesuai dengan sarannya….
  
  terima kasih banyak
  salam dari kami mathematics4us
  
Deden says:

03/02/2018 at 12:46 PM

Trus kak yang x/x = x??? Bukannya x/x = 1 ??
Saya binggung???

pelajar santai says:

28/02/2018 at 2:10 AM

pelajaran susah nih mending kita giting aj #suckschool

R•[ss]•m√p says:

01/03/2018 at 1:30 AM

gan sya copas trus sya edit lagi buat web sya heehehe ga pp ya

- admin says:
  
  01/03/2018 at 4:21 AM
  
  Silahkan taoi jgn Lupa tulis sumbernya yah
  
  Salam dari kami mathematics4us.com
  
Kang den says:

17/03/2018 at 4:37 PM

Super sekali,nice work bro,i like

Kang den says:

17/03/2018 at 4:38 PM

Makasih kang, sangat membantu sekali

- admin says:
  
  20/03/2018 at 2:48 AM
  
  sama sama kang Den 😀
  
arianto yanurdi says:

12/08/2018 at 1:17 PM

materi nya masih kurang lengkap untuk penjelasaan secara mendetail.
merasa tidak puas dengan hasil postingan ini.

- admin says:
  
  13/08/2018 at 11:09 AM
  
  kami akan berusaha melengkapinya kk..
  
  terima kasih atas masukannya
  
Subarkah says:

31/03/2019 at 4:01 AM

Terimakasih… sangat membantu 🙂 tapi kenapa itu sisi miring nya yang PQ ya?? Bukannya sisi miring nya itu yang 2? memang kalo dari gambar itu miring, apa emang seperti itu? jadi sisi miring itu bukan hipotenuse nya? maaf banyak nanya:3 terimakasih

- admin says:
  
  11/04/2019 at 4:01 AM
  
  kami sanga berterimakasih… sudah mengkoreksi kesalahan di artkel ini, kami sudah melakukan revisi di artikel ini….. 😀
  
Dimas says:

08/05/2020 at 7:44 AM

Assalammualaikum teman, penjelasannya menurut saya sudah bagus, saya meminta izin untuk mengcopas nya boleh ya, saya akan meletakkan sumber nya juga.
Terimakasih

- admin says:
  
  10/05/2020 at 2:14 PM
  
  silahkan….
  dan terimakasih kembali
  
Pingback: Sin x Cos x Trade off – 1st Harmonic

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

About the author

Harmitha Achmad

27 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Search

Categories