Barisan dan Deret Aritmetika

A. Konsep Barisan Aritmetika

Perhatikan ilustrasi berikut:

Pada ilustrasi di atas didapatkan barisan: 1, 4, 7, 10, 13. Suku pertama (U1) memiliki selisih 3 dengan suku kedua (U2), suku kedua juga memiliki selisih 3 dengan suku ketiga, dan seterusnya. Suku pertama atau U1 disimbolkan dengan a, sedangkan selisih disimbolkan dengan b (beda). Sehingga pada Gambar di atas diketahu a = 1 dan b = 3.

Bagaimana dengan suku ke-6, ke-7, bahkan suku ke-20? Untuk menemukannya, maka perhatikan pola berikut:

U1 = 1 = a

U2 = 4 = U1 + 3 = 1 + 3 = a + b

U3 = 7 = U2 + 3 = 1 + 3 + 3 = a + 2b

U4 = 10 = U3 + 3 = 1 + 3 + 3 + 3 = a + 3b

U5 = 13 = U4 + 3 = 1 + 3 + 3 + 3 + 3 = a + 4b

Pola di atas diketahui bahwa tiap suku selalu memiliki satu a, selanjutnya suku pertama memiliki 0 b, suku kedua memiliki 1 b, suku ketiga memiliki 2 b, dan seterusnya. Atau secara garis besar jika suku ke-n maka memiliki (n – 1)b. sehingga:

U6 = a + (61)b = a + 5b = 1 + 5.3 = 16

U7 = a + (71)b = a + 6b = 1 + 6.3 = 19

U20 = a + (201)b = a + 19b = 1 + 19.3 = 58.

Contoh:

Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua adalah 8, suku keempat adalah 14, dan suku terakhir 23. Ada berapa sukukah barisan aritmetika tersebut?

Jawab:

Diketahui: U2 = 8, U4 = 14, dan Un = 23

Ditanyakan: Banyaknya suku pada barisan tersebut

Penyelesaian:

Untuk mengetahui n-nya, terlebih dahulu kita harus mengetahui nilai a dan b-nya.

U2 = a + b = 8 (Pers. Pertama)

U4 = a + 3b = 14 (Pers. Kedua)

Un = a + (n – 1)b = 14 (Pers. Ketiga)

Setelah diketahui kedua persamaan yang terbentuk, kita dapat mengetahui nilai a dan b dengan menggunakan metode elimasi, substitusi, atau eliminasi-substitusi, atau bisa juga dengan metode yang lain.

Setelah nilai b diketahui, substitusi pada persamaan a + b = 8

Dari uraian di atas diketahui a = 5 dan b = 3, kemudia disubstitusikan pada persamaan ketiga:

Sehingga, banyaknya suku pada barisan aritmetika tersebut adalah 4 suku.

B. Konsep Deret Aritmetika

Jika kita memiliki suatu barisan aritmetika misalkan bilangan asli 1 sampai 51. Tentunya kita dapat dengan mudah mencari jumlahnya. Terlebih barisan bilangan asli 1, 2, 3, …, 50, 51 dapat dengan mudah ditentukan suku tengahnya. Suku tengah pada barisan bilangan asli 1 – 51 adalah suku ke-26 yang nilainya adalah 26. (Ingat, bedanya adalah 1). Dengan cara biasa, kita bisa mengetahui jumlahnya. Informasi awal yang diketahui antara lain n = 51 (terdiri dari 51 suku).

U1 + U51 = U2 + U50 = = U3 + U49 = … = U25 + U27 = 52.

Jika kita jumlahkan, maka kita akan mendapatkan hasil 52 yang terbentuk dari 25 pasangan suku. Sehingga jumlah bilangan asli tersebut adalah (25×52) + 26 = 1.326.

Selain cara di atas, kita juga dapat menghitung jumlah suku pertama deret aritmetika dengan rumus 

Misalkan Sn adalah jumlah suku pertama suatu arisan aritmetika yang dinotasikan dengan

Jika kita jumlahkan    maka

Jumlah   sebanyak n kali sehingga

Dari uraian di atas benar bahwa   merupakan rumus jumlah n suku pertama pada barisan aritmetika

Contoh:

Diketahui . jika a bilangan bulat positif maka tentukan nilai a.

Jawab:

Diketahui:

U1 = a

            b = (a + 1) – a = 1

Un = 50

Sn = 1.139

Ditanyakan: nilai a

Penyelesaian:

  • Tentukan nilai n

  • Substitusi nilai n pada persamaan Sn

  • Substitusi nilai n menjadi 51 – a

Karena a adalah bilangan positif maka nilai a adalah 17.

About the author

admin

View all posts

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.