Barisan dan Deret Geometri

A. Konsep Barisan Geometri

Diketahui barisan berikut 3, 6, 12, 24, …. Tentukan suku ke-7 dan ke-10 dari barisan tersebut.

Untuk mengetahui U₇ dan U₁₀ pada barisan di atas, terlebih dahulu kita harus mengetahui pola barisan tersebut. Kita harus mengumpulkan informasi-informasi yang berlaku pada barisan tersebut.

Pada Gambar 2 diketahu U₁ merupakan suku pertama yaitu 3. U₂ merupakan U₁ dikalikan 2, begitupun seterusnya. Nilai 2 dapat diketahui dari U₂ : U₁ = U₃ : U_{2 = … =} U_{n :} U_{n – 1} . U₁ dapat juga disimbolkan dengan a dan 2 merupakan perbandingan yang disimbolkan dengan r. Sehingga memenuhi

U₁ = 3 = a = a × r⁰

U₂ = 6 = U₁ × 2 = 3 × 2 = a × r¹

U₃ = 12 = U₂ × 2 = 3 × 2 × 2 = a × r × r = a × r²

U₄ = 24 = U₃ × 2 = 3 × 2 × 2 × 2 = a × r × r × r = a × r³

Setiap suku diketahui memiliki 1 a kemudian dikalikan dengan r pangkat (n – 1). Atau

Dengan menggunakan rumus di atas, maka kita sudah dapat mengetahui suku ke-7 dan suku ke-10 dengan mudah.

• U₇ = a × r⁶ = 3 × 2⁶
• U₁₀ = a × r⁹ = 3 × 2⁹

 

Contoh:

Perhatikan susunan bilangan  Tentukan suku ke 9 dari barisan tersebut.

Jawab:

Diketahui: Suku pertama (a) = 1

Ditanyakan: U₉

Penyelesaian:

Jadi, suku kesembilan atau 

 

B. Konsep Deret Geometri

Deret geometri adalah hasil jumlah suku pertama pada barisan geometri. Jika jumlah suku pertama pada barisan geometri disimbolkan dengan S_n maka

Untuk mengetahui rumus umum S_n maka kita mengurangkan S_n dengan r . S_n

Sehingga,

Contoh:

Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah….

Jawab:

Diketahui : Potongan-potongan tali terdiri dari 6 bagian, sehingga n = 6.

Potongan terpendek adalah suku pertama dan terpanjang adalah suku terakhir,

U₁ = 10 cm dan U₆ = 320 cm.

Ditanyakan : Panjang tali sebelum dipotong.

Penyelesaian:

U₁ = a = 10

U₆ = ar⁵ = 320, substitusikan nilai a pada U₁ ke U₆

Jadi, jika ke-enam suku tersebut dibuat dalam sebuat barisan geometri: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Maka jumlahnya adalah 630 cm.