Bentuk Akar

Pada materi sebelumnya, Mathematics4us telah membahas materi eksponensial. Materi selanjutnya yang akan dibahas yaitu pengakaran. Pengakaran  erat kaitannya dengan eksponensial. Bentuk akar merupakan salah satu contoh bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk, dengan ketentuan a dan b bilangan bulat dimana .

Perhitungan akar pangkat bilangan memenuhi definisi , dimana a adalah bilangan real positif.

Mari kita mengelompokkan contoh-contoh bentuk ke dalam kelompok bentuk akar dan bukan akar!

Dari kelima contoh di atas, manakah yang termasuk contoh dan bukan contoh bentuk akar? Untuk mempermudah menentukan contoh dan bukan contoh bentuk akar maka perhatikan kembali definisi sebelumnya.

Yang merupakan contoh bentuk akar yaitu nomor (1), (2), dan (4). Sedangkan contoh nomor (3) dan (5) merupakan bukan contoh bentuk akar. Pada contoh nomor (1), (2), dan (4) tidak memiliki bilangan real positif yang jika dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan 2, 3, dan 33. Nah bilangan-bilangan inilah yang disebut bentuk akar. Sedangkan untuk contoh nomor (3) dan (5) memiliki bilangan rasional yang jika dikuadratkan masing-masing akan menghasilkan 4 dan 625, yaitu berturut-turut adalah 2 dan 25.

A. Hubungan akar dengan pangkat.

Suatu bilangan eksponesial yang berpangkat pecahan dapat diubah ke dalam bentuk akar. Akar pangkat n dari suatu bilangan dinotasikan sebagai , dengan a adalah bilangan pokok atau basis dan n adalah indeks akar. Jika nilai indeksnya adalah n maka angka dua tidak usah dituliskan.

Berikut definisi bentuk akar:

Misalkan a bilangan real dengan  adalah bilangan pecahan dengan , berlaku   atau

Contoh:

1. Ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke dalam bentuk akar

2. Ubahlah bentuk akar berikut ke dalam bentuk pangkat pecahan

Jawab:

 

B. Menyederhanakan Bentuk Akar

Untuk menyederhanakan suatu bentuk akar maka berlaku persamaanuntuk setiap a dan b merupakan bilangan positif, dan salah satunya dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk akar berikut:

Penyelesaian:

C. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Operasi penjumlahan dan pengurungan pada bentuk akar hanya bisa dilakukan apabila akarnya mempunyai bilangan pokok dan indeks yang sama. Secara umum rumus penjumlahan dan pengurangan bentuk akar sebagai berikut:  dengan a, p, dan  dan  

Contoh:

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.

Penyelesaian:

2. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Operasi perkalian dan pembagian bentuk akar memiliki sifat yang sama dengan perkalian dan pembagian eksponesial yang sebelumnya telah dibahas (lihat materi eksponensial). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh:

3. Merasionalkan Bentuk Akar

Terdapat beberapa masalah matematika yang melibatkan bentuk akar dapat diselesaikan dengan merasionalkan bentuk akarnya. Pada prinsipnya, merasionalkan akar dengan mengalikan dengan bentuk sekawannya yang bernilai 1.  Berikut beberapa cara merasionalkan bentuk akar.

• Merasionalkan Bentuk 

Untuk menyelesaikan bentuk  dengan mengalikan dengan  Jika diuraikan maka dapat dijabarkan sebagai berikut:  (Perlu diingat bahwa )

Contoh:

• Merasionalkan bentuk dan

Sebelum kita merasionalkan bentuk akar maka ada baiknya kita mengingat kembali sifat perkalian bentuk sekawan (juga berlaku hukum komutatif) dan   Jadi untuk mempermudah, perhatikan uraian berikut:

 

Dari uraian di atas dengan mudah kita dapat merasionalkan bentuk berikut:

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk berikut.

Penyelesaian:

Dengan memperhatikan sifat perkalian bentuk sekawan maka kita dengan mudah menyelesaikan soal di atas.

• Menyederhanakan Bentuk 

Untuk menyederhanakan bentuk    perhatikan uraian berikut:

1. jika masing-masing ruas diakarkan atau dipangkatkan dengan ½ maka diperoleh :

2. dengan cara yang sama diperoleh :    

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk berikut.

Penyelesaian:

 untuk mengerjakan soal ini maka ubah ke dalam bentuk dasar. Angka 12 = 2 Χ 6, jika angka 6 dijadikan dalam bentuk akar maka akan menghasilkan Sehingga diperoleh bentuk baru :