Masalah mengenai Program Linear

Setelah kita membahas mengenai (Sistem Pertidaksamaan Linear), selanjutnya kita akan membahas mengenai pemanfaatan-pemanfaatan program linear dalam kehidupan. Program linear sangat bermanfaat untuk mengetahui keuntungan optimum yang didapatkan dengan melihat syarat-syarat yang ada. Contohnya saja jika kita ingin memulai menjual dua produk dengan modal yang terbatas. Dengan mengetahui batas modal keseluruhan, modal yang harus dikeluarkan per item produk, kapasitas Gudang, dan lain-lain kita dapat mengoptimalkan keuntungan yang akan kita peroleh dengan pertimbangan banyaknya barang A dan barang B yang akan dipasarkan.

Perhatikan masalah-masalah berikut.

Sebuah butik memiliki bahan 4 meter kain satin dan 5 meter kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2 meter kain satin dan 1 meter kain prada, sedangkan baju pesta II memerlukan 1 meter kain satin dan 2 meter kain prada. Harga jual baju pesta I sebesar Rp500.000 dan baju pesta II sebesar Rp400.000. Berapakah baju pesta I dan pesta II yang harus dibuat agar mendapatkan harga jual maksimal?

Penyelesaian:

• Misalkan:
• x = Pesta I
• y = Pesta II

Kendala	Pesta I (x)	Pesta II  (y)	Batasan
Kain satin	2	1	4
Kain Prada	1	2	5
Harga jual	Rp500.000	Rp400.000

Ditanyakan:

Berapakah baju pesta I dan pesta II yang harus dibuat agar mendapatkan harga jual maksimal?

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan model matematika

• Fungsi Kendala Ketersediaan: menggunakan pertidaksamaan ≤ karena ketersediaan kain terbatas, boleh digunakan sesuai bahan yang tersedia atau kurang dari kain yang tersedia tapi tidak boleh lebih.

Kain satin: 2x + y ≤ 4 (Persamaan 1)
Kain prada: x + 2y ≤ 5 (Persamaan 2)

• Fungsi Kendala Non Negatif:

x, y ≥ 0

• Fungsi Tujuan

Z = 500.000x + 400.000y

Langkah 2: Membuat grafik dengan menentukan titik-titik optimalnya

Misalkan x = 0 dan y = 0

• Fungsi kendala 1: 2x + y≤4

 Untuk x = 0 maka:

2(0)+ y = 4

0 + y = 4

y = 4

Sehingga, (x, y) = (0,4)

Untuk y = 0 maka:

2x+ 0=4

x=

x=2

Sehingga, (x, y) = ( 2, 0)

• Fungsi kendala 2: x + 2 ≤ 5

Untuk x = 0 maka:

0+ 2 y =5

y = 

y=2,5

Sehingga, (x, y) = (0, 2, 5)

Untuk y = 0 maka:

x + 2(0) = 5

x + 0 = 5

x = 5

Sehingga, (x, y) = (5, 0)

• Carilah titik potongnya dengan cara eliminasi – susbtitusi pada dua garis yang berpotongan:
• Buatlah gambar grafiknya berdasarkan poin (a), (b), dan (c), serta fungsi kendala non negatif kemudian tentukan daerah penyelesaiannya.

Fungsi kendala 1: 2x + y ≤ 4

Uji pada titik (0, 0)

2(0) +(0) ≤ 4

0 ≤ 4 (Karena 0 ≤ 4 bernilai benar, maka daerah penyelesaiannya berada di titik (0, 0))