Penyelesaian Masalah Mengenai Program Linear Menggunakan Metode Grafik

Pada materi ini sangat erat kaitannya dengan materi Sistem Pertidaksamaan Linear dengan Menggunakan Metode Grafik dalam menentukan daerah hasil dan cara menguji pada titik O(0, 0), selanjutnya kita akan membahas mengenai pemanfaatan-pemanfaatan program linear dalam kehidupan. Program linear sangat bermanfaat untuk mengetahui keuntungan optimum yang didapatkan dengan melihat syarat-syarat yang ada. Contohnya saja jika kita ingin memulai menjual dua produk dengan modal yang terbatas. Dengan mengetahui batas modal keseluruhan, modal yang harus dikeluarkan per item produk, kapasitas Gudang, dan lain-lain kita dapat mengoptimalkan keuntungan yang akan kita peroleh dengan pertimbangan banyaknya barang A dan barang B yang akan dipasarkan.

Perhatikan masalah-masalah berikut.

1. Suatu perusahaan transportasi tiap hari maksimal mendistribusikan 1200 paket (yang besarnya sama) melalui dua truk pengangkut. Truk 1 memuat 200 paket untuk setiap pengangkutan dan truk 2 memuat 80 paket untuk setiap pengangkutan. Biaya pengangkutan untuk truk 1 dan truk 2 masing-masing Rp400.000,00 dan Rp200.000,00. Padahal biaya yang tersedia untuk mengangkut 1200 paket hanya Rp3.000.000,00. Gambarlah daerah penyelesaiannya..

Penyelesaian:

Misalkan:

x = Truk I

y = Truk II

Ditanyakan:

Biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan model matematika

a. Fungsi Kendala Ketersediaan:

Muatan: Paket yang harus didistribusikan maksimal adalah 1.200 paket

200x + 80y ≤ 1.200

5x + 2y ≤ 30 (Persamaan 1)

Biaya : Modal Rp3.000.000, jadi biaya yang dikeluarkan maksimal Rp3.000.000 atau kurang.

400.000x + 200.000y ≤ 3.000.000

4x + 2y ≤ 30 (Persamaan 2)

b. Fungsi Kendala Non Negatif:

x, y ≥ 0

c.  Fungsi Tujuan:

Tidak memiliki fungsi tujuan

Langkah 2: Membuat grafik dengan menentukan titik-titik optimalnya

Misalkan x = 0 dan y = 0

a. Fungsi kendala 1: 5x +2y ≤ 30

 Untuk x = 0 maka:

5(0) + 2y = 30

2y = 30

y = 15

Sehingga, (x, y) = (0,15)

Untuk y = 0 maka:

5x + 2(0) = 30

x = 30/5

x = 6

Sehingga, (x, y) = ( 6, 0)

Fungsi kendala 2: 4x + 2y ≤30

Untuk x = 0 maka:

40 + 2y = 30

2y = 30

y = 15

Sehingga, (x, y) = (0,15)

Untuk y = 0 maka:

4x + 2(0) = 30

x=30/4

x=7,5

Sehingga, (x, y) = (7,5, 0)

C. Carilah titik potongnya dengan cara eliminasi – susbtitusi pada dua garis yang berpotongan:

Titik potong berada pada (x, y) = (0, 15)

Catatan: jika gambar grafik akurat, langkah ini dapat dihilangkan.

d. Buatlah gambar grafiknya berdasarkan poin (a), (b), dan (c):

Untuk menggambar daerah penyelesaiannya maka kita akan menggunakan perumpamaan “daerah bersih adalah daerah hasil dan daerah kotor adalah daerah bukan hasil”

(i) Fungsi kendala 1: 5x +2y ≤ 30

• Buatlah grafik berdasarkan titik-titik (x, y) yang telah diperoleh pada Langkah 2 poin a.
• Setelah menentukan titik-titiknya, uji pada titik O (0, 0):

50 + 20 ≤ 30 → 0 ≤ 30

Bernilai benar, sehingga daerah penyelesaiannya mendekati titik O (0, 0)

 

(ii) Fungsi kendala 2: 4x + 2y ≤30

• Buatlah grafik berdasarkan titik-titik (x, y) yang telah diperoleh pada Langkah 2 poin b.
• Setelah menentukan titik-titiknya, uji pada titik O (0, 0):

4(0) + 2(0) ≤30→0≤30

Bernilai benar, sehingga daerah penyelesaiannya mendekati titik O (0, 0)

(iii) Fungsi Kendala Non Negatif: x,y≥0 yang artinya daerah penyelesaiannya selalu bernilai positif

(iv) Menggabungkan ketiga gambar pada langkah di atas

Pada langkah ini, didapatkan daerah bersih adalah daerah penyelesaiannya. Jika digambar ulang maka daerah penyelesaian berdasarkan langkah-langkah di atas adalah daerah arsiran sebagai berikut

2/ Sebuah perusahaan pelayaran hendak mengangkut 420 mobil sedan dan 120 bus, dengan 2 kapal feri, yaitu feri jenis A dan feris jenisi B. Feri A dapat mengangkut hingga 30 bus dan 30 sedan, sedangkan feri B dapat mengangkut hingga 10 bus dan 70 sedan dalam sekali angkut. Jika biaya menggunakan sebuah feri A dan sebuah feri B masing-masing adalah Rp500.000,00 dan Rp300.000,00, maka tentukan biaya minimum yang dikeluarkan untuk mengangkut semua kendaraan tersebut menggunakan kedua jenis feri adalah ….

Jawab:

Diketahui:

Misalkan:

x = Feri A

y = Feri B

Ditanyakan:

Biaya minimum yang dikeluarkan untuk mengangkut semua kendaraan tersebut menggunakan kedua jenis feri

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan model matematika

a. Fungsi Kendala Ketersediaan: (karena yang akan diangkut adalah 420 mobil sedan dan 120 bus, maka kedua jenis feri tersebut tidak boleh mengangkut kendaraan kurang dari yang ditetapkan)

Mobil Sedan:   30 x + 70y ≥ 420

3x + 7y ≥ 42 (persamaan 1)

Bus: 30x + 10y ≥ 120

  3x + y ≥ 12 (persamaan 2)

b. Fungsi Kendala Non Negatif:

x,y ≥ 0

Fungsi Tujuan:

Z(x,y)=500.000x + 300.000y

Langkah 2: Membuat grafik dengan menentukan titik-titik optimalnya

Misalkan x = 0 dan y = 0

a. Fungsi kendala 1: 3x + 7y ≤ 42

Untuk x = 0 maka:

0 + 7y = 42

7y = 42

y = 6

Sehingga, (x, y) = ( 0, 6)

Untuk y = 0 maka:

3x + 0 = 42

3x = 42

x = 14

Sehingga, (x, y) = ( 14, 0)

b. Fungsi kendala 2: 3x+y≤12

Untuk x = 0 maka:

3(0) + y = 12

0 + y = 12

y = 12

Sehingga, (x, y) = ( 0, 12)

Untuk y = 0 maka:

3x + 0 = 12

3x = 12

x = 4

c. Carilah titik potongnya dengan cara eliminasi – susbtitusi pada dua garis yang berpotongan:

Titik potong berada pada (x, y) = 

Catatan: jika gambar grafik akurat, langkah ini dapat dihilangkan.

 

d. Buatlah gambar grafiknya berdasarkan poin (a), (b), dan (c):

Untuk menggambar daerah penyelesaiannya maka kita akan menggunakan perumpamaan “daerah bersih adalah daerah hasil dan daerah kotor adalah daerah bukan hasil”

(i) Fungsi kendala 1: 3x + 7y ≥ 42

• Buatlah grafik berdasarkan titik-titik (x, y) yang telah diperoleh pada Langkah 2 poin a.
• Setelah menentukan titik-titiknya, uji pada titik O (0, 0):

3(0) + 7(0) ≥ 42 → 0 ≥ 42

Bernilai salah, sehingga daerah penyelesaiannya menjauhi titik O (0, 0)

(ii)Fungsi kendala 2: 3x + y ≥ 12

• Buatlah grafik berdasarkan titik-titik (x, y) yang telah diperoleh pada Langkah 2 poin b.
• Setelah menentukan titik-titiknya, uji pada titik O (0, 0):

3(0) + (0) ≥ 12 → 0 ≥ 12

Bernilai benar, sehingga daerah penyelesaiannya mendekati titik O (0, 0)

(iii) Fungsi Kendala Non Negatif: x,y ≥ 0 yang artinya daerah penyelesaiannya selalu bernilai positif

(iv) Menggabungkan ketiga gambar pada langkah di atas

Pada langkah ini, didapatkan daerah bersih adalah daerah penyelesaiannya. Jika digambar ulang maka daerah penyelesaian berdasarkan langkah-langkah di atas adalah daerah arsiran sebagai berikut

Pada daerah yang diarsir di atas, diketahui ada 4 titik pojok yaitu titik A, B, dan C
dari ketiga titik pojok di atas ada ketentuan sebagai berikut

“Pada titik pojok B  pada nilai x tidak menggunakan x=, tetapi dibulatkan menjadi 3. Kita tidak mungkin memotong badan feri menjadi 1/3 bagian, bukan? karena yang akan diangkut adalah 420 mobil sedan dan 120 bus, maka kedua jenis feri tersebut tidak boleh mengangkut kendaraan kurang dari yang ditetapkan. Sehingga pada langkah bagian e nantinya, titik pojok II nilai x = 3.”

e. Masukkan nilai x dan y (titik-titik pojok) berdasarkan grafik yang telah dibuat terhadapat fungsi tujuan Z(x,y)=500.000x + 300.000y

• Titik pojok I: x = 0 dan y = 12

Z(x,y)= 500.000(0) + 300.000(12)

Z(x,y)= 0 + 3.600.000

Z(x,y)= 3.600.000

• Titik pojok II: x = 3 dan y = 5

Z(x,y)= 500.000(3) + 300.000(5)

Z(x,y)= 1.500.000 + 1.500.000

Z(x,y)= 3.000.000

• Titik pojok III: x = 14 dan y = 0

Z(x,y)= 500.000(14) + 300.000(0)

Z(x,y)=7.000.000 + 0

Z(x,y)=7.000.000

f. Setelah disubstitusi maka ongkos minimumnya: Rp3.000.000

Dengan banyaknya feri A = 3 dan feri B = 5

Materi serupa (https://mathematics4us.com/masalah-mengenai-program-linear/)