Nilai Stasioner dan Aplikasi Turunan

Sebelumnya mathematics4us telah membahas mengenai Fungsi Naik dan Fungsi Turun, selanjutnya mathematics4us akan membahas materi yang masih erat kaitannya dengan turunan fungsi yaitu nilai stasioner.

Jika fungsi naik dan fungsi turun nilai turunannya lebih besar dan lebih kecil dari 0, maka untuk menentukan nilai stasioner, turunannya harus sama dengan nol.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh di bawah ini:

Tentukan nilai stasioner dan jenis dari fungsi 

Jawab:

Nilai stasionernya:

Jadi untuk x = –2 nilai stasionernya  dan untuk x = 3 nilai stasionernya 

Jenis stasionernya adalah

 

untuk x = –2 nilai balik maksimumnya adalah  dan untuk x = 3 nilai balik minimumnya adalah 

Nilai balik maksimum suatu fungsi pada domain f dapat berupa nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum relatif. Begitupun dengan nilai minimum, dapat berupa nilai minimum mutlak dan nilai minimum relatif. Jika dalam interval tertentu terdapat dua nilai maksimum atau lebih, nilai maksimum mutlak (absolut) adalah nilai tertinggi sedangkan yang lainnya merupakan nilai maksimum relatif, begitupun sebaliknya. Jika terdapat dua atau lebih nilai minimum pada suatu fungsi, maka titik terendah merupakan nilai minimum mutlak (absolut), sedangkan yang lainnya merupakan nilai minimum relatif.

Untuk lebiih jelasnya, perhatikan gambar berikut:

 Dari gambar di atas disimpulkan bahwa:

Contoh nilai maksimum dan nilai minimum.

Tentukan nilai maksimum mutlak dan nilai minimum mutlak pada fungsi yang intervalnya diketahui.

 Jawab:

  

Jadi, nilai maksimum mutlak pada x = 5, dengan nilai 215. Sedangkan nilai minimum mutlak pada x = –2, dengan nilai –2.

Jadi, nilai maksimum mutlak pada x = 5, dengan nilai 67. Sedangkan nilai minimum mutlak pada x = 2, dengan nilai –14.

Masalah nilai maksimum dan minimum melibatkan nilai stasioner, dimana turunan fungsinya sama dengan nol. Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai masalah nilai maksimum dan minimum perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh:

1. Jumlah dua buah bilangan adalah 16. Tentukan kedua bilangan itu agar menghasilkan perkalian terbesar.

Jawab:

Misalkan

x = bilangan pertama

y = bilangan kedua

2. Sebuah persegi panjang mempunyai panjang (5x + 5) cm dan lebar (5 – x) cm. luas maksimum persegi panjang tersebut adalah ….

Jawab:

Jadi, luas maksimum persegi panjang tersebut adalah

3. Diketahui a dan b bilangan-bilangan positif dengan a + b = 300. Nilai akan mencapai maksimum jika nilai b = ….

Jawab:

Jadi, nilai b agar  maksimal adalah b = 100

Kecepatan dan percepatan juga memanfaatkan turunan. Kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak. Sedangkan percepatan merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan.

Contoh:

Banyaknya reaksi suatu zat pada massa x dirumuskan dengan:

Tentukan:

Kecepatan reaksi pada saat x = 5

Percepatan reaksi pada saat x = 1

Jawab: