Sistem Pertidaksamaan Linear dengan Menggunakan metode grafik

Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear kita dapat menggunakan beberapa metode. Metode yang dapat digunakan antara lain menggunakan metode grafik dan juga metode garis selidik. Pada kesempatan ini kita akan menggunakan metode grafik. Jika garisnya merupakan garis putus-putus  maka tanda pertidaksamaan yang digunakan adalah “ < “ atau “ > “, tapi jika garisnya merupakan garis tanpa putus-putus  maka tanda pertidaksamaan yang digunakan adalah “ ≤ “ atau “ ≥”

Contoh 1:

Tentukan daerah penyelesaian pada daerah yang diarsir dari sistem pertidaksamaan pada grafik berikut:

Gambar 1

Gambar 2

Penyelesaian:

Penyelesaian Gambar 1

Untuk mengetahui daerah penyelesaian, dalam laman ini titik yang berada pada sumbu y dinyatakan dengan a dan pada sumbu x dinyatakan dengan b (Pada beberapa sumber sumbu dinyatakan dengan a dan pada sumbu dinyatakan dengan b). Untuk menyelesaikan gambar di atas perhatikan langkah-langkah berikut:

(1) Tentukan nilai a dan b

Pada grafik di atas nilai = 2 dan b = –2

(2) Tentukan rumus ruas kiri dan ruas kanannya

Tabel 1

Ruas kiri Ruas kanan
ax + by a . b
2x – 2y 2 . –2
2x – 2y –4

(3) Tentukan pertidaksamaannya:

Untuk mengetahuhi pertidaksamaannya maka uji pada titik selidik. Dalam hal ini, menggunakan titik uji O (0,0).

Tabel 2

Ruas kiri Pertidaksamaan Ruas kanan
2x – 2y –4
2(0) – 2(0) –4
0 > –4

Setelah diketahui pertidaksamaan pada titik selidik O(0,0) maka kita menentukan daerah penyelesaiannya. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 3

Pada grafik Gambar 3 di atas, titik selidik O(0,0) berada pada daerah hasil (arsiran) atau titik selidik dan daerah hasilnya sama-sama berada di bawah garis f, sehingga tanda pertidaksamaannya mengikuti langkah (3). Sehingga ditemukan pertidaksamaan: 2x-2y≥-4 (diberikan tanda ≥ karena bukan garis putus-putus)

——————————–

Untuk menyelesaikan Penyelesaian Gambar 2 di atas perhatikan langkah-langkah berikut:

(1) Tentukan nilai a dan 

Pada grafik di atas nilai = –2 dan b = –3

(2) Tentukan rumus ruas kiri dan ruas kanannya

Tabel 3

Ruas kiri Ruas kanan
ax + by a . b
–2x – 3y –2 . –3
–2x – 3y 6

(3) Tentukan pertidaksamaannya:

Untuk mengetahuhi pertidaksamaannya maka uji pada titik selidik. Dalam hal ini, menggunakan titik uji O (0,0).

Tabel 4

Ruas kiri Pertidaksamaan Ruas kanan
–2x – 3y 6
–2(0) – 3(0) 6
0 < 6

Setelah diketahui pertidaksamaan pada titik selidik O(0,0) maka kita menentukan daerah penyelesaiannya. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 4

Pada grafik Gambar 4 di atas, titik selidik O(0,0) berada bukan pada daerah hasil (arsiran) atau titik selidik dan daerah hasilnya berlawanan arah, sehingga tanda pertidaksamaannya berkebalikan dengan langkah (3). Sehingga ditemukan pertidaksamaan: -2x-3y>6 atau jika dijadikan tanda positif menjadi 2x+3y<6

 

Contoh 2:

Tentukan daerah penyelesaian pada daerah yang di arsir

Gambar 5

Sama halnya dengan soal nomor 1, untuk mencari pertidaksamaan pada gambar di atas maka pertama-tama buatlah langkah-langkahnya.

Garis f:

Gambar 6

(1) Tentukan nilai a dan b

Nilai = 2 dan b = 1

(2) Tentukan rumus ruas kiri dan ruas kanannya

Tabel 5

Ruas kiri Ruas kanan
2x + 1y a . b
2x + y 2 . 1
2x + y 2

(3) Tentukan pertidaksamaannya:

Untuk mengetahuhi pertidaksamaannya maka uji pada titik selidik. Dalam hal ini, menggunakan titik uji O (0,0).

Tabel 6

Ruas kiri

Pertidaksamaan Ruas kanan
2x + y 2
2(0) + (0) 2
0 <

2

Setelah diketahui pertidaksamaan pada titik selidik O(0,0) maka kita menentukan daerah penyelesaiannya. Gambar 6, daerah penyelesaian berada di atas garis f sedangkan daerah titik uji O(0,0) berada di bawah garis f. Sehingga yang tadinya pertidaksamaannya adalah “lebih kecil” berubah menjadi “lebih besar”. Maka daerah penyelesaiannya adalah 2x + y≥2.

Garis g

Gambar 7

(1) Tentukan nilai a dan b

Nilai = 3 dan b = 3

(2) Tentukan rumus ruas kiri dan ruas kanannya

Tabel 7

Ruas kiri Ruas kanan
3x + 3y a . b
3x + 3y 3 . 3
3x + 3y 9

Tentukan pertidaksamaannya:

Untuk mengetahuhi pertidaksamaannya maka uji pada titik selidik. Dalam hal ini, menggunakan titik uji O (0,0).

Tabel 8

Ruas kiri Pertidaksamaan Ruas kanan
3x + 3y 9
3(0) + 3(0) 9
0 < 9

Setelah diketahui pertidaksamaan pada titik selidik O(0,0) maka kita menentukan daerah penyelesaiannya. Gambar 7, daerah penyelesaian berada di bawah garis g dan daerah titik uji O(0,0) juga berada di bawah garis g. Sehingga pertidaksamaannya mengikuti pertidaksamaan pada langkah (3) yaitu “lebih kecil”. Maka daerah penyelesaiannya adalah 3x + 3y≤9 atau jika disederhanakan menjadi . x + y≤3.

Garis h

Gambar 8

 

Pada garis h yang diperhatikan adalah garis memotong sumbu x pada titik x = 2. Dimana daerah arsirannya berada pada sebelah kiri garis. Kita dapat mengambil titik uji x = 0. “0 < 2” sehingga dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian garis h adalah x≤2.

Garis i

Gambar 9

(1) Tentukan nilai a dan b

Nilai = –1 dan b = 2

(2) Tentukan rumus ruas kiri dan ruas kanannya

Tabel 9

Ruas kiri Ruas kanan
–1x + 2y a . b
x + 2y –1 . 2
x + 2y –2

(3) Tentukan pertidaksamaannya:

Untuk mengetahuhi pertidaksamaannya maka uji pada titik selidik. Dalam hal ini, menggunakan titik uji O (0,0).

Tabel 10

Ruas kiri Pertidaksamaan Ruas kanan
x + 2y –2
– 1(0) + 2(0) –2
0 > –2

Setelah diketahui pertidaksamaan pada titik selidik O(0,0) maka kita menentukan daerah penyelesaiannya. Gambar 9, daerah penyelesaian berada di atas garis i dan daerah titik uji O(0,0) juga berada di atas garis i. Sehingga pertidaksamaannya mengikuti pertidaksamaan pada langkah (3) yaitu “lebih besar”. Maka daerah penyelesaiannya adalah -x+2y≥-2.

 

Pertidaksamaan Non-Negatif

Gambar 10

Perhatikan Gambar 10 bagian garis yang berwarna merah. Tidak ada daerah penyelesaian yang berada pada daerah negatif meskipun tidak dibatasi oleh garis f, garis g, garis hdan garis i. Yang membatasinya adalah sumbu x dan sumbu y. Sumbu x adalah garis y pada titik 0 (y = 0) dan sumbu adalah garis pada titik 0 (x = 0). Inilah yang disebut pertidaksamaan non-negatif. Pada gambar di atas pertidaksamaan non-negatifnya adalah: x≥0 dan y≥0.

Sehingga daerah penyelesaian pada Gambar adalah:

  1. Garis : 2x + y≥2
  2. Garis : x + y≤3
  3. Garis : x≤2
  4. Garis : -x+2y≥-2 atau x-2y≤2
  5. Non-negatif: x≥0 dan y≥0

 

Setelah kita mengetahui cara menentukan daerah hasil, selanjutnya akan kita pelajari masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan pertidaksamaan linier.

About the author

admin

View all posts

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.